Frage bzgl. Teilmengen/Urbild < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Di 05.11.2013 | | Autor: | holz3 |
| Aufgabe | Es seien M und N Mengen, und es sei f : M [mm] \to [/mm] N eine Abbildung. Zeigen Sie:
(a) Für jede Teilmenge X [mm] \subseteq [/mm] M gilt X [mm] \subseteq f^{-1}(f(X)).
[/mm]
(b) Für jede Teilmenge Y [mm] \subseteq [/mm] N gilt [mm] f(f^{-1}(Y)) \subseteq [/mm] Y. |
Ich weiß aus der Vorlesung schon, dass deswegen:
[mm] f^{-1}(Y) [/mm] := [mm] \{ x \varepsilon M : f(x) \varepsilon Y \} \subseteq [/mm] M
das Urbild, bzw. die Urbildmenge von y unter f ist
und
f(X) := [mm] \{ f(x):x \varepsilon X \} \subseteq [/mm] N
das Bild von X unter f ist
Hänge ab da aber irgendwie fest und hab keine Ahnung, wie ich weitermachen soll, etwas Hilfe wäre toll.
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> Es seien M und N Mengen, und es sei f : M [mm]\to[/mm] N eine
> Abbildung. Zeigen Sie:
> (a) Für jede Teilmenge X [mm]\subseteq[/mm] M gilt X [mm]\subseteq f^{-1}(f(X)).[/mm]
>
> (b) Für jede Teilmenge Y [mm]\subseteq[/mm] N gilt [mm]f(f^{-1}(Y)) \subseteq[/mm]
> Y.
> Ich weiß aus der Vorlesung schon, dass deswegen:
> [mm]f^{-1}(Y)[/mm] := [mm]\{ x \varepsilon M : f(x) \varepsilon Y \} \subseteq[/mm]
> M
> das Urbild, bzw. die Urbildmenge von y unter f ist
> und
> f(X) := [mm]\{ f(x):x \varepsilon X \} \subseteq[/mm] N
> das Bild von X unter f ist
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich find's gut, daß Du die beiden Definitionen schonmal hingeschrieben hast.
Um Teilmengenbeziehungen zu zeigen, zeigt man, daß jedes Element, welches in der 1.Menge ist, auch in der zweiten liegt. Das ist ja die Def. von "Teilmenge".
(a)
Beh.:
> Für jede Teilmenge X [mm]\subseteq[/mm] M gilt X [mm]\subseteq f^{-1}(f(X)).[/mm]
Beweis:
Sei [mm] x\in [/mm] X.
(Man muß nun zeigen, daß auch [mm] x\in f^{-1}(f(X)) [/mm] richtig ist.)
Dann ist das Element [mm] f(x)\in [/mm] f(X).
(Schau Dir nun an und schreib Dir auf, wie [mm] f^{-1}(f(X)) [/mm] definiert ist)
Es ist [mm] f^{-1}(f(X))=\{x\in M: f(x)\in...\}
[/mm]
Also ist [mm] x\in [/mm] ...
(b)
Beh.:
> (b) Für jede Teilmenge Y [mm]\subseteq[/mm] N gilt [mm]f(f^{-1}(Y)) \subseteq[/mm] Y.
Bew:
Sei [mm] y\in f(f^{-1}(Y)).
[/mm]
(Man muß nun zeigen, daß...)
Dann gibt es ein [mm] x\in [/mm] ... mit y=f(x).
Weil [mm] x\in [/mm] ... ist [mm] f(x)\in [/mm] Y, also ist [mm] y\in [/mm] Y.
LG Angela
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