Frage nach Lösungsmöglichkeit < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
[mm] 2/r∙ρ^{-2/3}∙(dρ/dr)-2/3∙ρ^{-5/3}∙(dρ/dr)^2+ρ^{-2/3}∙((d^2 ρ)/(dr^2 [/mm] ))=-3∙π∙ρ∙G/K
kürzen mit ρ^(-2/3)
[mm] 2/r∙(dρ/dr)-2/3∙1/ρ∙(dρ/dr)^2+((d^2 ρ)/(dr^2 [/mm] ))=-3∙π∙ρ^(5/3)∙G/K
Umordnen und verwenden von: [mm] K_1=-3∙π∙G/K
[/mm]
[mm] (d^2 ρ)/(dr^2 )-2/3∙1/ρ∙(dρ/dr)^2+2/r∙(dρ/dr)-K_1∙ρ^{5/3}=0 [/mm] Gl-Poly24
Diese Differentialgleichung lässt sich für beliebige n allgemein ausdrücken durch:
[mm] (d^2 ρ)/(dr^2 )-(1-1/n)∙1/ρ∙(dρ/dr)^2+2/r∙(dρ/dr)-K_1∙ρ^{(1+2/n)}=0 [/mm] Gl-Poly25
Wir haben hier mit Gl-Poly24 eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung vorliegen die allerdings zusätzlich in der 1. Ableitung ein quadratisches Glied aufweist.
y^'' (x)-a/y∙(y^' [mm] )^2+b/x∙y^'-c∙y^{5/3}=0
[/mm]
y^'' (x)-a/y∙(y^' [mm] )^2+b/x∙y^'-c∙y^{5/3}=0
[/mm]
Ich bin bei meiner Arbeit über die Dichteverteilung im Sterninneren auf eine Differentialgleichung dieses Typs gestoßen.
Ich vermute, dass es dafür nur eine numerische Lösung gibt.
Vielleicht kann mir jemand einen Hinweis geben.
[mm] Kurzbescgr1/r^2 ∙d/dr(r^2/ρ∙dP/dr)=-4∙π∙ρ∙G [/mm] Gl-Poly1
P=〖K∙ρ〗^(1+1/n) Gl-Poly12
wir ersetzen in Gleichung Gl-Poly1: dP/dr=dP/dρ∙dρ/dr mit dP/dρ=(1+1/n)∙K∙ρ^(1/n)
einsetzen in Gl-Poly1:
[mm] (1+1/n)∙K∙1/r^2 ∙d/dr(r^2∙ρ^{1/n-1}∙dρ/dr)=-4∙π∙ρ∙G [/mm]
an dieser Stelle setzen wir für n=3 ein:
[mm] 4/3∙K/r^2 ∙d/dr(r^2∙ρ^{-2/3}∙dρ/dr)=-4∙π∙ρ∙G [/mm]
ausdifferenzieren:
[mm] 1/r^2 ∙d/dr(r^2∙ρ^{-2/3}∙dρ/dr)=-3∙π∙ρ∙G/K
[/mm]
[mm] 1/r^2 ∙[2∙r∙ρ^{-2/3}∙(dρ/dr)+r^2∙(-2/3)∙ρ^{-5/3}∙(dρ/dr)^2+r^2∙ρ^{-2/3}∙((d^2 ρ)/(dr^2 [/mm] )) ]=-3∙π∙ρ∙G/K
eibung der Ableitung:
[mm] 2/r∙ρ^{-2/3}∙(dρ/dr)-2/3∙ρ^{-5/3}∙(dρ/dr)^2+ρ^{-2/3}∙((d^2 ρ)/(dr^2 [/mm] ))=-3∙π∙ρ∙G/K
kürzen mit ρ^(-2/3)
[mm] 2/r∙(dρ/dr)-2/3∙1/ρ∙(dρ/dr)^2+((d^2 ρ)/(dr^2 [/mm] ))=-3∙π∙ρ^(5/3)∙G/K
Umordnen und verwenden von: [mm] K_1=-3∙π∙G/K
[/mm]
[mm] (d^2 ρ)/(dr^2 )-2/3∙1/ρ∙(dρ/dr)^2+2/r∙(dρ/dr)-K_1∙ρ^{5/3}=0 [/mm] Gl-Poly24
Diese Differentialgleichung lässt sich für beliebige n allgemein ausdrücken durch:
[mm] (d^2 ρ)/(dr^2 )-(1-1/n)∙1/ρ∙(dρ/dr)^2+2/r∙(dρ/dr)-K_1∙ρ^{(1+2/n)}=0 [/mm] Gl-Poly25
Wir haben hier mit Gl-Poly24 eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung vorliegen die allerdings zusätzlich in der 1. Ableitung ein quadratisches Glied aufweist.
Wie kann ich diese Differentialgleichung lösen?
y^'' (x)-a/y∙(y^' [mm] )^2+b/x∙y^'-c∙y^{5/3}=0 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
[mm] 2/r∙ρ^{-2/3}∙(dρ/dr)-2/3∙ρ^{-5/3}∙(dρ/dr)^2+ρ^{-2/3}∙((d^2 ρ)/(dr^2 [/mm] ))=-3∙π∙ρ∙G/K
kürzen mit ρ^(-2/3)
[mm] 2/r∙(dρ/dr)-2/3∙1/ρ∙(dρ/dr)^2+((d^2 ρ)/(dr^2 [/mm] ))=-3∙π∙ρ^(5/3)∙G/K
Umordnen und verwenden von: [mm] K_1=-3∙π∙G/K
[/mm]
[mm] (d^2 ρ)/(dr^2 )-2/3∙1/ρ∙(dρ/dr)^2+2/r∙(dρ/dr)-K_1∙ρ^{5/3}=0 [/mm] Gl-Poly24
Diese Differentialgleichung lässt sich für beliebige n allgemein ausdrücken durch:
[mm] (d^2 ρ)/(dr^2 )-(1-1/n)∙1/ρ∙(dρ/dr)^2+2/r∙(dρ/dr)-K_1∙ρ^{(1+2/n)}=0 [/mm] Gl-Poly25
Wir haben hier mit Gl-Poly24 eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung vorliegen die allerdings zusätzlich in der 1. Ableitung ein quadratisches Glied aufweist.
y^'' (x)-a/y∙(y^' [mm] )^2+b/x∙y^'-c∙y^{5/3}=0
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 Mi 01.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> [mm]2/r∙ρ^{-2/3}∙(dρ/dr)-2/3∙ρ^{-5/3}∙(dρ/dr)^2+ρ^{-2/3}∙((d^2 ρ)/(dr^2[/mm]
> ))=-3∙π∙ρ∙G/K
> kürzen mit ρ^(-2/3)
> [mm]2/r∙(dρ/dr)-2/3∙1/ρ∙(dρ/dr)^2+((d^2 ρ)/(dr^2[/mm]
> ))=-3∙π∙ρ^(5/3)∙G/K
Was Du da oben und auch unten produziert hast ist das reine Chaos ! Das kann doch kein Mensch lesen ! Ich sehe im Quelltext, dass da oben nicht dauernd DDR steht, sondern dass es sich um Ableitungen nach r einer Funktion [mm] \rho [/mm] handelt.
Also schreibs ordentlich auf, vielleicht hilft Dir dann jemand.
FRED
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> Umordnen und verwenden von: [mm]K_1=-3∙π∙G/K[/mm]
>
> [mm](d^2 ρ)/(dr^2 )-2/3∙1/ρ∙(dρ/dr)^2+2/r∙(dρ/dr)-K_1∙ρ^{5/3}=0[/mm]
> Gl-Poly24
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> Diese Differentialgleichung lässt sich für beliebige n
> allgemein ausdrücken durch:
>
> [mm](d^2 ρ)/(dr^2 )-(1-1/n)∙1/ρ∙(dρ/dr)^2+2/r∙(dρ/dr)-K_1∙ρ^{(1+2/n)}=0[/mm]
> Gl-Poly25
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> Wir haben hier mit Gl-Poly24 eine gewöhnliche
> Differentialgleichung 2. Ordnung vorliegen die allerdings
> zusätzlich in der 1. Ableitung ein quadratisches Glied
> aufweist.
>
> y^'' (x)-a/y∙(y^' [mm])^2+b/x∙y^'-c∙y^{5/3}=0[/mm]
> y^'' (x)-a/y∙(y^' [mm])^2+b/x∙y^'-c∙y^{5/3}=0[/mm]
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> Ich bin bei meiner Arbeit über die Dichteverteilung im
> Sterninneren auf eine Differentialgleichung dieses Typs
> gestoßen.
> Ich vermute, dass es dafür nur eine numerische Lösung
> gibt.
> Vielleicht kann mir jemand einen Hinweis geben.
> [mm]Kurzbescgr1/r^2 ∙d/dr(r^2/ρ∙dP/dr)=-4∙π∙ρ∙G[/mm]
> Gl-Poly1
> P=〖K∙ρ〗^(1+1/n) Gl-Poly12
>
> wir ersetzen in Gleichung Gl-Poly1: dP/dr=dP/dρ∙dρ/dr
> mit dP/dρ=(1+1/n)∙K∙ρ^(1/n)
> einsetzen in Gl-Poly1:
>
> [mm](1+1/n)∙K∙1/r^2 ∙d/dr(r^2∙ρ^{1/n-1}∙dρ/dr)=-4∙π∙ρ∙G[/mm]
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>
> an dieser Stelle setzen wir für n=3 ein:
>
> [mm]4/3∙K/r^2 ∙d/dr(r^2∙ρ^{-2/3}∙dρ/dr)=-4∙π∙ρ∙G[/mm]
>
> ausdifferenzieren:
> [mm]1/r^2 ∙d/dr(r^2∙ρ^{-2/3}∙dρ/dr)=-3∙π∙ρ∙G/K[/mm]
>
> [mm]1/r^2 ∙[2∙r∙ρ^{-2/3}∙(dρ/dr)+r^2∙(-2/3)∙ρ^{-5/3}∙(dρ/dr)^2+r^2∙ρ^{-2/3}∙((d^2 ρ)/(dr^2[/mm]
> )) ]=-3∙π∙ρ∙G/K
>
> eibung der Ableitung:
>
> [mm]2/r∙ρ^{-2/3}∙(dρ/dr)-2/3∙ρ^{-5/3}∙(dρ/dr)^2+ρ^{-2/3}∙((d^2 ρ)/(dr^2[/mm]
> ))=-3∙π∙ρ∙G/K
> kürzen mit ρ^(-2/3)
> [mm]2/r∙(dρ/dr)-2/3∙1/ρ∙(dρ/dr)^2+((d^2 ρ)/(dr^2[/mm]
> ))=-3∙π∙ρ^(5/3)∙G/K
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> Umordnen und verwenden von: [mm]K_1=-3∙π∙G/K[/mm]
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> [mm](d^2 ρ)/(dr^2 )-2/3∙1/ρ∙(dρ/dr)^2+2/r∙(dρ/dr)-K_1∙ρ^{5/3}=0[/mm]
> Gl-Poly24
>
> Diese Differentialgleichung lässt sich für beliebige n
> allgemein ausdrücken durch:
>
> [mm](d^2 ρ)/(dr^2 )-(1-1/n)∙1/ρ∙(dρ/dr)^2+2/r∙(dρ/dr)-K_1∙ρ^{(1+2/n)}=0[/mm]
> Gl-Poly25
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> Wir haben hier mit Gl-Poly24 eine gewöhnliche
> Differentialgleichung 2. Ordnung vorliegen die allerdings
> zusätzlich in der 1. Ableitung ein quadratisches Glied
> aufweist.
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> Wie kann ich diese Differentialgleichung lösen?
> y^'' (x)-a/y∙(y^' [mm])^2+b/x∙y^'-c∙y^{5/3}=0[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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> [mm]2/r∙ρ^{-2/3}∙(dρ/dr)-2/3∙ρ^{-5/3}∙(dρ/dr)^2+ρ^{-2/3}∙((d^2 ρ)/(dr^2[/mm]
> ))=-3∙π∙ρ∙G/K
> kürzen mit ρ^(-2/3)
> [mm]2/r∙(dρ/dr)-2/3∙1/ρ∙(dρ/dr)^2+((d^2 ρ)/(dr^2[/mm]
> ))=-3∙π∙ρ^(5/3)∙G/K
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> Umordnen und verwenden von: [mm]K_1=-3∙π∙G/K[/mm]
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> [mm](d^2 ρ)/(dr^2 )-2/3∙1/ρ∙(dρ/dr)^2+2/r∙(dρ/dr)-K_1∙ρ^{5/3}=0[/mm]
> Gl-Poly24
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> Diese Differentialgleichung lässt sich für beliebige n
> allgemein ausdrücken durch:
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> [mm](d^2 ρ)/(dr^2 )-(1-1/n)∙1/ρ∙(dρ/dr)^2+2/r∙(dρ/dr)-K_1∙ρ^{(1+2/n)}=0[/mm]
> Gl-Poly25
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> Wir haben hier mit Gl-Poly24 eine gewöhnliche
> Differentialgleichung 2. Ordnung vorliegen die allerdings
> zusätzlich in der 1. Ableitung ein quadratisches Glied
> aufweist.
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> y^'' (x)-a/y∙(y^' [mm])^2+b/x∙y^'-c∙y^{5/3}=0[/mm]
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