Frage zu Faktorringen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Sa 06.11.2010 | | Autor: | nicole18 |
Hallo miteinander,
Könnt ihr mir sagen warum der Faktorring Z[i] / (3) ein Körper und Z[i] /(2) kein Körper sein soll, wobei Z[i] den gaußschen Ring der ganzen Zahlen meint. Hat das was damit zu tun dass 3 prim ist. Kann man ganz allgemein sagen dass wenn p ein Primideal ist dann folgt dass Z[i] ein Körper ist? Beziehungsweise welches Körperaxiom ist denn in Z[i]/(2) verletzt damit dieser Faktorring keinen Körper bildet. Bildet dieser keine multplikative Gruppe existiert also nicht zu jedem Element ein multiplikativ inverses? Was wäre überhaupt das neutrale Element in Z[i]/(2)? Wäre das die Restklasse x + 2iy?
nicole
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 So 07.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo miteinander,
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> Könnt ihr mir sagen warum der Faktorring Z / (3) ein
> Körper und Z /(2) kein Körper sein soll, wobei Z den
> gaußschen Ring der ganzen Zahlen meint. Hat das was damit
> [i][i][i]zu tun dass 3 prim ist.
2 ist auch prim.
Es hat etwas damit zu tun, wie sich das Primideal $(2)$ bzw. $(3)$ von [mm] $\IZ$ [/mm] in [mm] $\IQ(\sqrt{-1})$ [/mm] aufteilt. Wenn du es aus der Sicht der algebraischen Zahlentheorie anschauen willst.
Ob (2) bzw. (3) in [mm]\IZ[i][/mm] ein Primideal ist oder nicht haengt davon ab ob [mm] $x^2 [/mm] + 1$ modulo 2 bzw. modulo 3 irreduzibel ist oder nicht.
Es ist ja [mm]\IZ[i] \cong \IZ[x] / (x^2 + 1)[/mm] und [mm]\IZ[i] / (2) \cong \IZ[x]/(x^2 + 1, 2) \cong (\IZ/2\IZ)[x]/(x^2 + 1)[/mm] und analog fuer 3.
> Kann man ganz allgemein sagen dass [/i][/i][/i]
> wenn p ein Primideal ist dann folgt dass Z ein Körper ist?
Wenn $(p)$ in [mm]\IZ[i][/mm] ein (von 0 verschiedenes!) Primideal ist, dann ist [mm]\IZ[i]/(p)[/mm] ein Koerper. Ist $(p)$ kein Primideal, so ist es kein Koerper.
(Eigentlich brauchst du, dass es ein maximales Ideal ist. Jedoch sind in [mm]\IZ[i][/mm] alle Primideale ungleich dem Nullideal maximale Ideale.)
> Beziehungsweise welches Körperaxiom ist denn in Z/(2)
> verletzt damit dieser Faktorring keinen Körper bildet.
Das der Existenz von multiplikativ Inversen.
> Bildet dieser keine multplikative Gruppe existiert also
> nicht zu jedem Element ein multiplikativ inverses? Was
> wäre überhaupt das neutrale Element in Z/(2)? Wäre das
> die Restklasse x + 2iy?
Das neutrale Element bzgl. Addition ist die Restklasse von 0, das neutrale Element bzgl. Multiplikation ist die Restklasse von 1.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 So 07.11.2010 | | Autor: | nicole18 |
Sehe ich das richtig. Da dieser Isomorphismus existiert reicht es zu zeigen dass eben [mm] x^2+1 [/mm] mod 2 irreduzibel ist und [mm] x^2+1 [/mm] mod 3 eben nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Mo 08.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sehe ich das richtig. Da dieser Isomorphismus existiert
> reicht es zu zeigen dass eben [mm]x^2+1[/mm] mod 2 irreduzibel ist
> und [mm]x^2+1[/mm] mod 3 eben nicht?
Ja. Damit ist [mm] $(x^2 [/mm] + 1)$ in [mm] $(\IZ/2\IZ)[x]$ [/mm] ein Primideal (und auch maximales Ideal), [mm] $(x^2 [/mm] + 1)$ in [mm] $(\IZ/3\IZ)[x]$ [/mm] jedoch nicht, womit [mm] $(\IZ/2\IZ)[x]/(x^2+1)$ [/mm] ein Koerper ist, [mm] $(\IZ/3\IZ)[x]/(x^2 [/mm] + 1)$ jedoch nicht.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 So 07.11.2010 | | Autor: | nicole18 |
Kann ich jetzt wenn ich zeigen möchte wieviele Elemente Z[i]/(3) besitzt diesen Isomorphismus zu [mm] Z[i]/(3)/(x^2+1) [/mm] ausnutzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Mo 08.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Kann ich jetzt wenn ich zeigen möchte wieviele Elemente
> Z/(3) besitzt diesen Isomorphismus zu [mm]Z[i]/(3)/(x^2+1)[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]ausnutzen? [/i][/mm]
Du meinst du [mm] $\IZ[x]/(3)/(x^2+1)$. [/mm] Ja, den kannst du dafuer benutzen.
Damit siehst du sofort, dass der Quotient aus 9 Elementen besteht.
LG Felix
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