Frage zu Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:20 Do 21.01.2010 | | Autor: | goncalez |
Hallo ich habe eine Frage zu Grenzwerten für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
Bei der Aufgabe
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(-1 [/mm] + [mm] e^{a/n}) [/mm] n
sollte als Lösung a herauskommen.
Ich komme aber nicht auf dieses Ergebnis!
Kann mir bitte jemand erklären wie man darauf kommt?
Vielen Dank
Goncalez
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hola goncalez, bienvenido - es decir ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
que tarea agradable!
Da Du neu hier bist, beschränke ich mich mal auf den Hinweis, dass wir normalerweise hier eigene Lösungsansätze erwarten, auch dann, wenn sie nicht zum Erfolg geführt haben. Was hast Du denn bisher versucht?
Die Aufgabe ist geschickt gestellt und eine fast perfekt funktionierende Falle. Es scheint ja, als könne man das Produkt einfach in zwei Grenzwerte aufspalten, wovon der eine gegen -1 läuft, und der andere gegen Unendlich. Aber das klappt nicht, weil "unendlich" eben unbestimmt ist.
Da hilft meistens nur, nach einer Umformung zu suchen, die nicht nur einen, sondern gleich zwei unbestimmte Ausdrücke enthält, und zwar so, dass der alte L'Hospital anwendbar ist:
> Bei der Aufgabe
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(-1[/mm] + [mm]e^{a/n})[/mm] n
> sollte als Lösung a herauskommen.
Ja, so sollte das sein...
> Ich komme aber nicht auf dieses Ergebnis!
Soso. Ich schon.
> Kann mir bitte jemand erklären wie man darauf kommt?
Schreib den Grenzwert mal als Bruch, also einfach das ganze Gemüse oben auf einen Bruchstrich, und im Nenner eine 1. Dann erweitere so, dass Du eine binomische Formel nutzen kannst. Ein zweites Mal musst Du erweitern, nämlich mit [mm] \tfrac{1}{n}, [/mm] dann scheinen Zähler und Nenner im Grenzübergang Null zu werden.
Und das ist letztlich das Ziel: so umzuformen, dass Du l'Hospital anwenden kannst. Schau mal, ob Du das mit diesen beiden Tipps hinkriegst.
Viel Erfolg!
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:07 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Setzt man
$ f(x): = [mm] e^{ax}$
[/mm]
und beachtet man, dass die zu untersuchende Folge gerade
$= [mm] \bruch{f(1/n)-f(0)}{1/n}$
[/mm]
ist, so hat man einen wunderschönen Differenzenquotienten dastehen, der was treibt für $n [mm] \to \infty$ [/mm] ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Do 21.01.2010 | | Autor: | goncalez |
Vielen Dank
Hab es hinbekommen! 
Echt tolles Forum
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