Frage zu Satz < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Der Satz f : R → R ist stetig in a ∈ A dann und nur dann, wenn für jede Folge
[mm] (x_{n})_{n} [/mm] in A mit [mm] x_{n} [/mm] → a gilt: [mm] f(x_{n}) [/mm] → f(a).
Aufgabe: Ist [mm] sgn(x)(3x-5x^{3}) [/mm] stetig? |
Ich verstehe nicht so ganz wie ich daran gehen soll. Ich habe so angefangen:
Sei [mm] a\in [/mm] R. Sei [mm] (x_{n})_{n} [/mm] in A mit [mm] x_{n} [/mm] → a. Dann gilt [mm] f(x_{n})= sgn(x_{n})(3x_{n}-5x_{n}^{3}) [/mm] = [mm] sgn(x_{n})(3x_{n})-sgn(x_{n})(5x_{n}^{3}). [/mm]
Kann ich nun einfach sagen: Nach den üblichen Rechenregeln für Grenzwerte folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=sgn(a)(3a)-sgn(a)(5a^{3})
[/mm]
Ich finde das "fühlt" sich schon nicht richtig an...?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Di 02.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Der Satz f : R → R ist stetig in a ∈ A dann und nur
> dann, wenn für jede Folge
> [mm](x_{n})_{n}[/mm] in A mit [mm]x_{n}[/mm] → a gilt: [mm]f(x_{n})[/mm] → f(a).
>
> Aufgabe: Ist [mm]sgn(x)(3x-5x^{3})[/mm] stetig?
> Ich verstehe nicht so ganz wie ich daran gehen soll. Ich
> habe so angefangen:
>
> Sei [mm]a\in[/mm] R. Sei [mm](x_{n})_{n}[/mm] in A mit [mm]x_{n}[/mm] → a. Dann gilt
> [mm]f(x_{n})= sgn(x_{n})(3x_{n}-5x_{n}^{3})[/mm] =
> [mm]sgn(x_{n})(3x_{n})-sgn(x_{n})(5x_{n}^{3}).[/mm]
>
> Kann ich nun einfach sagen: Nach den üblichen Rechenregeln
> für Grenzwerte folgt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=sgn(a)(3a)-sgn(a)(5a^{3})[/mm]
>
> Ich finde das "fühlt" sich schon nicht richtig an...?
jein. Es gilt zum einen nicht unbedingt nach "üblichen Rechenregeln" - denn was verstehst Du unter üblichen Rechenregeln?
Du benötigst gewisse Rechenregeln für konvergente Folgen (z.B.: Die Summenfolge zweier konvergenter Folgen ist konvergent gegen die Summe der Grenzwerte). Mithilfe dieser kann man z.B. dann einsehen, dass $x [mm] \mapsto 3x-5x^3$ [/mm] als Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] stetig ist.
Zum anderen: Die Funktion $x [mm] \mapsto \text{sgn}(x)$ [/mm] ist als Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] nicht stetig. Sie ist unstetig an der Stelle [mm] $x_0=0$. [/mm] (Warum?)
Aber:
Gewährleistet ist, dass $x [mm] \mapsto \text{sgn}(x)$ [/mm] stetig auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] ist (Beweis?). Somit kannst Du Dir dann überlegen, dass $x [mm] \mapsto \text{sgn}(x)*(3x-5x^3)$ [/mm] stetig auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] ist. (Das geht dann z.B. mit dem von Dir oben erwähnten Satz unter Zuhilfenahme gewisser Rechenregeln für konvergente Folgen.)
Es ist aber noch zu begründen, dass $x [mm] \mapsto f(x):=\text{sgn}(x)*(3x-5x^3)$ [/mm] stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist.
Dazu:
Sei [mm] $(x_n)_n \in \IR^{\IN}$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR$, [/mm] die gegen [mm] $0\,$ [/mm] konvergiere (also [mm] $\lim_{n \to \infty}x_n=0$). [/mm] Dann gilt für jedes $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $$|\text{sgn}(x_n)*(3x_n-5x_n^3)| \le |\underbrace{3x_n-5x_n^3 }_{\underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0;\;\;\text{ Warum?}}|$$
[/mm]
und wegen der Stetigkeit der Funktion [mm] $\IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] |x|$ (insbesondere in [mm] $x_0=0$) [/mm] folgt
[mm] $$\lim_{n \to \infty}\text{sgn}(x_n)*(3x_n-5x_n^3)=\ldots=\underbrace{\text{sgn}(0)}_{=0}*\underbrace{(3*0-5*0^3)}_{=0}=f(0)\,,$$
[/mm]
was nach obigen Satz die Stetigkeit von $x [mm] \mapsto \text{sgn}(x)*(3x-5x^3)$ [/mm] in der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] impliziert.
P.S.:
[mm] $\bullet$ [/mm] Die Umschreibung [mm] $\text{sgn}(x)*(3x-5x^3)=\text{sgn}(x)*3x-\text{sgn}(x)*5x^3$ [/mm] ist zwar nicht falsch, aber oben nicht wirklich notwendig.
[mm] $\bullet$ [/mm] Du solltest die 3 Pünktchen oben sinnvoll ergänzen und die Fragen in den Klammern beantworten. Bei weiteren Unklarheiten wird Dir sicher gerne, nach Rückfrage, auch weitergeholfen. Ggf. auch von mir, wenn ich Zeit habe.
Besten Gruß,
Marcel
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Okay, erstmal danke.
Das sgn(x) in allen Punkten außer 0 stetig ist, haben wir in der VL gezeigt.
Dann zeige ich nun, dass [mm] f(x)=3x-5x^{3} [/mm] stetig ist.
Ich nehem mir eine Folge [mm] (x_{n})_{n} [/mm] aus R mit Grenzwert [mm] x_{0}. [/mm] Es gilt nun [mm] f(x_{n})=3x_{n}-5x_{n}^{3}.
[/mm]
Es gilt nach den Rechenregeln für konvergente Folgen (heißt bei uns tatsächlich Rechenregeln für Grenzwerte)
[mm] 3x_{n}-5x_{n}^{3} \rightarrow 3x_{0}-5x_{0}^{3} [/mm] für [mm] n\rightarrow \infty [/mm] .
Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})= 3x_{0}-5x_{0}^{3}
[/mm]
Es gilt für stetige Funktionen g und f, fg ist stetig. Also hier [mm] sgn(x)(3x-5x^{3}) [/mm] ist stetig auf [mm] R\{0}.
[/mm]
Bleibt zz. [mm] sgn(x)(3x-5x^{3}) [/mm] ist stetig in 0.
BTW: Ich könnte doch auch sagen da x, 2, 5 und [mm] x^{3} [/mm] stetig so auch [mm] (3x-5x^{3}) [/mm] oder? (da für f und g stetig gilt: f+g,f-g,f/g,fg stetig [mm] g\not= [/mm] 0)
Soweit korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Di 02.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Okay, erstmal danke.
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> Das sgn(x) in allen Punkten außer 0 stetig ist, haben wir
> in der VL gezeigt.
>
> Dann zeige ich nun, dass [mm]f(x)=3x-5x^{3}[/mm] stetig ist.
>
> Ich nehem mir eine Folge [mm](x_{n})_{n}[/mm] aus R mit Grenzwert
> [mm]x_{0}.[/mm] Es gilt nun [mm]f(x_{n})=3x_{n}-5x_{n}^{3}.[/mm]
>
> Es gilt nach den Rechenregeln für konvergente Folgen
> (heißt bei uns tatsächlich Rechenregeln für Grenzwerte)
> [mm]3x_{n}-5x_{n}^{3} \rightarrow 3x_{0}-5x_{0}^{3}[/mm] für
> [mm]n\rightarrow \infty[/mm] .
>
> Also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})= 3x_{0}-5x_{0}^{3}[/mm]
>
> Es gilt für stetige Funktionen g und f, fg ist stetig.
> Also hier [mm]sgn(x)(3x-5x^{3})[/mm] ist stetig auf [mm]R\{0}.[/mm]
>
> Bleibt zz. [mm]sgn(x)(3x-5x^{3})[/mm] ist stetig in 0.
>
> BTW: Ich könnte doch auch sagen da x, 2, 5 und [mm]x^{3}[/mm]
> stetig so auch [mm](3x-5x^{3})[/mm] oder? (da für f und g stetig
> gilt: f+g,f-g,f/g,fg stetig [mm]g\not=[/mm] 0)
Aber sicher!
Für x>0 gilt [mm] sgn(x)(3x-5x^{3})=1*(3x-5x^{3}) [/mm] (und das ist stetig).
Für x<0 gilt [mm] sgn(x)(3x-5x^{3})=(-1)*(3x-5x^{3}) [/mm] (und das ist stetig).
Du musst also nur noch zeigen, dass f(0) mit dem links- und dem rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle 0 übereinstimmt.
Gruß Abakus
> Soweit korrekt?
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Aha, das klingt doch schonmal gut, danke.
Ich habe nun mal weiter gemacht.
Also zz. f(x) ist stetig in 0.
Sei dafür [mm] (x_{n})_{n} \in R^{+}\backslash [/mm] {0}.
Es gilt dann: [mm] sgn(x_{n})(3x_{n}-5x_{n}^{3})=1(3x_{n}-5x_{n}^{3}).
[/mm]
Es folgt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(3x_{n}-5x_{n}^{3})=3*0-5*0=0
[/mm]
Sei nun [mm] (x_{n})_{n} \in R^{-}\backslash [/mm] {0}. Dann gilt: [mm] sgn(x_{n})(3x_{n}-5x_{n}^{3})=-3x_{n}+5x_{n}^{3}).
[/mm]
Es folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(-3x_{n}+5x_{n}^{3})=-3*0+5*0=0
[/mm]
Somit stimmt der Rechtseitige- mit dem Linksseitigem Grenzwert an der Stelle x=0 überein, damit ist die Funktion aus R stetig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mi 03.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Aha, das klingt doch schonmal gut, danke.
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> Ich habe nun mal weiter gemacht.
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> Also zz. f(x) ist stetig in 0.
>
> Sei dafür [mm](x_{n})_{n} \in R^{+}\backslash[/mm] {0}.
...... und [mm] x_n \to [/mm] 0
>
> Es gilt dann:
> [mm]sgn(x_{n})(3x_{n}-5x_{n}^{3})=1(3x_{n}-5x_{n}^{3}).[/mm]
>
> Es folgt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(3x_{n}-5x_{n}^{3})=3*0-5*0=0[/mm]
>
> Sei nun [mm](x_{n})_{n} \in R^{-}\backslash[/mm] {0}.
...... und [mm] x_n \to [/mm] 0
> Dann gilt:
> [mm]sgn(x_{n})(3x_{n}-5x_{n}^{3})=-3x_{n}+5x_{n}^{3}).[/mm]
>
> Es folgt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(-3x_{n}+5x_{n}^{3})=-3*0+5*0=0[/mm]
>
> Somit stimmt der Rechtseitige- mit dem Linksseitigem
> Grenzwert an der Stelle x=0 überein, damit ist die
> Funktion aus R stetig.
So stimmts
FRED
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jo, na klar. Einfach vergessen. Super! Jippi!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Mi 03.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aha, das klingt doch schonmal gut, danke.
>
> Ich habe nun mal weiter gemacht.
>
> Also zz. f(x) ist stetig in 0.
>
> Sei dafür [mm](x_{n})_{n} \in R^{+}\backslash[/mm] {0}.
>
> Es gilt dann:
> [mm]sgn(x_{n})(3x_{n}-5x_{n}^{3})=1(3x_{n}-5x_{n}^{3}).[/mm]
>
> Es folgt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(3x_{n}-5x_{n}^{3})=3*0-5*0=0[/mm]
>
> Sei nun [mm](x_{n})_{n} \in R^{-}\backslash[/mm] {0}. Dann gilt:
> [mm]sgn(x_{n})(3x_{n}-5x_{n}^{3})=-3x_{n}+5x_{n}^{3}).[/mm]
>
> Es folgt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(-3x_{n}+5x_{n}^{3})=-3*0+5*0=0[/mm]
>
> Somit stimmt der Rechtseitige- mit dem Linksseitigem
> Grenzwert an der Stelle x=0 überein, damit ist die
> Funktion aus R stetig.
neben Freds korrigierender/ergänzender Bemerkung:
Es wäre noch kurz zu überlegen, dass diese Grenzwerte auch mit $f(0)$ übereinstimmen. Es ist natürlich ein leichtes, $f(0)=0$ nachzurechnen.
Nur, damit Du das auch siehst:
Mit $g(x):=1$, falls $x [mm] \in \IR \setminus\{0\}$ [/mm] und $g(0):=0$ gilt auch, dass [mm] $g\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] den gleichen rechtseitigen und linksseitigen GW (nämlich [mm] $1\,$) [/mm] hat. Aber diese stimmen nicht mit $g(0)=0 [mm] \not=1$ [/mm] überein, und damit ist [mm] $g\,$ [/mm] nicht stetig (insbesondere nicht in [mm] $x_0=0$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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