Frage zu Sylow-Gruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hallo!
Ich habe eine Frage zu etwas, was wir in der Vorlesung gemacht haben. Und zwar haben wir in der Vorlesung versucht, Gruppen der Ordnung 12 zu klassifizieren.
Da gilt |G| = 12 = [mm] 2^{2} [/mm] * 3 gibt es also 2-Sylow-Gruppen und 3-Sylow-Gruppen.
Für die Anzahl [mm] N_{2}(G) [/mm] der 2-Sylow-Gruppen muss gelten
a) [mm] N_{2}(G) \equiv [/mm] 1 (modulo 2) und
b) [mm] N_{2} [/mm] (G) teilt 3
Daraus ergibt sich: [mm] N_{2}(G) [/mm] = 1 oder =3
Für die Anzahl [mm] N_{3}(G) [/mm] der 3-Sylow-Gruppen ergibt sich mit der gleichen Vorgehensweise:
[mm] N_{3}(G) [/mm] = 1 oder = 4
Nun haben wir angenommen dass [mm] N_{3}(G) [/mm] = 4 ist und wollen herausfinden, was dann [mm] N_{2}(G) [/mm] sein muss. Und hier sind wir an dem Punkt angelangt, den ich nicht verstehe. Wir haben nämlich folgendes gemacht:
Angenommen [mm] N_{3}(G) [/mm] = 4
Dann |{g [mm] \in [/mm] G | ord (g) = 4}| = 12- 4*2 = 4
-> [mm] N_{2}(G) [/mm] =1
Kann mir jemand erklären, was wir hier genau machen und was es bedeutet? Ich komm einfach nicht darauf. Hab schon überall rumgesucht, aber einfach keine Erklärung gefunden. Wär echt super!
LG Leni
|
|
| |
|
Hallo,
angenommen, Du habest 4 Sylowgruppen, dann sind diese Untergruppen isomorph zu Z/4Z, haben also jeweils 2 Erzeuger der Ordnung 4. Zugleichg sitzen diese Erzeuger nicht in der 3-er Sylow-Gruppe drin. Wenn ich die dann von 12 abziehe, komme ich auf vier übriggebliebene Elemente, die nicht alle die Ordnung drei haben können, denn es gibt ja noch einige Elemente der Ordnung 2 (nämlich die oben erwähnten Erzeuger zum Quadrat) und noch das neutrale Element, kurzum: hier zählt man ein bißchen die Gruppenelemente, indem man sie nach Ordnungen sortiert und dann zu einem Widerspruch kommt.
Greez,
Tagesschau.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hm, das versteh ich leider noch nicht so ganz.
Meintest du mit "Angenommen ich habe 4-Sylowgruppen", dass ich 4 3-Sylow-Gruppen habe? Und wieso sind die isomorph zu Z/4Z? Irgendwie versteh ich das ganze leider noch nicht...
kannst dus mir vielleicht versuchen nochmal irgendwie anders zu erklären? Wär voll super!!!
LG Leni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Sa 08.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Leni
> Meintest du mit "Angenommen ich habe 4-Sylowgruppen", dass
> ich 4 3-Sylow-Gruppen habe?
Ja, das meint er. Er hat schliesslich auch ``4 Sylowgruppen'' und nicht ``4-Sylowgruppen'' geschrieben.
> Und wieso sind die isomorph zu Z/4Z?
Er meint [mm] $\IZ/3\IZ$; [/mm] die 3-Sylow-UG haben Ordnung 3 und sind somit zyklisch (weil Primzahlordnung).
> Irgendwie versteh ich das ganze leider noch nicht...
> kannst dus mir vielleicht versuchen nochmal irgendwie
> anders zu erklären? Wär voll super!!!
Die Idee ist folgende: wenn du 4 verschiedene 3-Sylow-UG (jeweils der Ordnung 3) hast, dann enthaelt jede davon das Neutralelement und zwei Elemente der Ordnung 3, die beide die Gruppe erzeugen. Wenn du also zwei solche 3-Sylow-UGen [mm] $U_1, U_2$ [/mm] hast, dann gilt entweder [mm] $U_1 [/mm] = [mm] U_2$ [/mm] oder [mm] $U_1 \cap U_2 [/mm] = [mm] \{ e \}$ [/mm] (wobei $e$ das Neutralelement ist).
Folglich gibt es also $8 = 4 [mm] \cdot [/mm] 2$ Elemente der Ordnung 3 in der Gruppe, und somit koennen $4 = 12 - 8$ Elemente eine Ordnung ungleich 3 haben, etwa die Ordnung 1 (das Neutralelement), 2, 4, ...
Da nun jede 2-Sylow-UG genau 4 Elemente hat, passt in den verbleibenden Rest also hoechstens eine 2-Sylow-UG (wenn du eine weitere haettest, muesste diese ein Element der Ordnung 2 oder 4 enthalten, welches nicht in der ersten 2-Sylow-UG drinnen ist; dafuer bleibt aber nichts mehr uebrig!).
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:39 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Leni-H |
Ah ok, cool danke! Dann habe ich das jetzt (hoffentlich) verstanden.
Jetzt zu einer Aufgabe, die auf unserem aktuellen Übungsblatt steht:
"Bestimme Anzahl und Isomorphietyp der p-Sylowgruppen von [mm] S_{5} [/mm] für alle p."
Bisher habe ich folgendes hinbekommen:
Da [mm] S_{5} [/mm] die Gruppe aller Bijektionen {1,2,3,4,5} -> {1,2,3,4,5} darstellt gilt für die Anzahl der Elemente von [mm] S_{5}:
[/mm]
[mm] |S_{5}| [/mm] = 5! = 120
Die Primfaktorzerlegung von 120 ergibt:
120 = 2*2*2*3*5 = [mm] 2^{3} [/mm] *3*5
Dies bedeutet, dass 2-Sylow-Untergruppen, 3-Sylow-Untergruppen und 5-Sylow-Untergruppen existieren.
Zuerst einmal zu p=2
Es gilt: [mm] |S_{5}| [/mm] = [mm] 2^{3} [/mm] * 15
Hier muss für die Anzahl [mm] N_{2}(G) [/mm] der 2-Sylow-Gruppen gelten:
a) [mm] N_{2}(G) \equiv [/mm] 1 (modulo 2) und
b) [mm] N_{2}(G) [/mm] teilt 15
-> [mm] N_{2}(G) \in [/mm] {1,3,5,15}
Nun zu p=3:
Es gilt: [mm] |S_{5}| [/mm] = [mm] 3^{1} [/mm] * 40
Hier muss für die Anzahl [mm] N_{3}(G) [/mm] der 3-Sylow-Gruppen gelten:
a) [mm] N_{3}(G) \equiv [/mm] 1 (modulo 3) und
b) [mm] N_{3}(G) [/mm] teilt 40
-> [mm] N_{3}(G) \in [/mm] {1,4,10,40}
Und schließlich noch p=5:
Es gilt: [mm] |S_{5}| [/mm] = [mm] 5^{1} [/mm] * 24
Hier muss für die Anzahl [mm] N_{5}(G) [/mm] der 5-Sylow-Gruppen gelten:
a) [mm] N_{5}(G) \equiv [/mm] 1 (modulo 5) und
b) [mm] N_{5}(G) [/mm] teilt 24
-> [mm] N_{5}(G) \in [/mm] {1,6}
So nun habe ich viele Möglichkeiten, wieviel 2-,3- und 5-Sylow-Gruppen es geben kann. Nun habe ich so weitergemacht, dass ich geschaut habe, wieviel Elemente der Ordnung i es jeweils gibt, wenn [mm] N_{i}=a. [/mm] Ich weiß aber nicht ob der Schritt richtig ist oder ob man jetzt was anderes hätte untersuchen müssen?!?
Also es hat sich folgendes ergeben:
[mm] N_{5} [/mm] = 1 -> 4 Elemente der Ordnung 5
[mm] N_{5} [/mm] = 6 -> 24 Elemente der Ordnung 5
[mm] N_{3} [/mm] = 1 -> 2 Elemente der Ordnung 3
[mm] N_{3} [/mm] = 4 -> 8 Elemente der Ordnung 3
[mm] N_{3} [/mm] = 10 -> 20 Elemente der Ordnung 3
[mm] N_{3} [/mm] = 40 -> 80 Elemente der Ordnung 3
[mm] N_{2} [/mm] = 1 -> 1 Element der Ordnung 2
[mm] N_{2} [/mm] = 3 -> 3 Elemente der Ordnung 3
[mm] N_{2} [/mm] = 5 -> 5 Elemente der Ordnung 2
[mm] N_{2} [/mm] = 15 -> 15 Elemente der Ordnung 2
So, jetzt habe ich also diese Möglichkeiten. Nun ist mir jetzt aber nicht ganz klar, wie ich jetzt die richtige Kombination auswähle....
In meiner Gruppe kann es ja auch noch Elemente anderer Ordnung, z.B. Ordnung 12 geben.....
Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen?
LG Leni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 22:50 So 09.12.2007 | | Autor: | Leni-H |
Nochmal hierzu eine weitere Frage. Mir ist nicht ganz klar, wie ich genau die Anzahl der p-Sylow-Gruppen in einer Gruppe G bestimmen kann.
Ich weiß, dass ich als ersten Schritt prüfen muss, dass die Anzahl = 1 (modulo p) sein muss und dass die Anzahl m teilen muss für G = [mm] p^{k} [/mm] *m.
Aber dann habe ich ja trotzdem immernoch mehrere Möglichkeiten...
Wie kann ich dann jetzt hier auf die genaue Anzahl kommen?
Wär echt super, wenn mir jemand hier weiterhelfen könnte.
LG Leni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Mi 12.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Mo 10.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
