Frage zu algebr. Rechenoperat. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:00 Do 20.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Folgende Aufgabe:
Für alle a,b [mm] \varepsilon \IR [/mm] hat die Gleichung a + x = b eine eindeutig bestimmte Lösung in x [mm] \varepsilon \IR. [/mm] Man zeige zunächst, dass eine Lösung existiert und daraufhin, dass jede andere Lösung mit dieser übereinstimmt.
Mein Ansatz:
a + x = b
a + (-a) + x = b + (-a)
a - a +x = b - a
0 + x = b - a
x = b - a
Da (b-a) [mm] \varepsilon \IR [/mm] ist, ist ebenso x [mm] \varepsilon \IR [/mm] !
Sei z eine Lösung von a + x = b
Also: a + z = b = b + a + (-a) = b + (-a) +a = b - a +a = (b - a) + a
-> z ist die bereits bekannte Lösung (b-a).
Kann man das so beweisen?
|
|
| |
|
> Folgende Aufgabe:
Einen schönen guten Morgen,
>
> Für alle a,b [mm]\varepsilon \IR[/mm] hat die Gleichung a + x = b
> eine eindeutig bestimmte Lösung in x [mm]\varepsilon \IR.[/mm] Man
> zeige zunächst, dass eine Lösung existiert und daraufhin,
> dass jede andere Lösung mit dieser übereinstimmt.
>
> Mein Ansatz:
>
Sei x [mm] \in \IR [/mm] mit
> a + x = b
> a + (-a) + x = b + (-a)
> a - a +x = b - a
> 0 + x = b - a
> x = b - a
>
> Da (b-a) [mm]\varepsilon \IR[/mm] ist, ist ebenso x [mm]\varepsilon \IR[/mm]
> !
Im Prinzip kannst Du das so machen, müßtest jedoch unbedingt noch Äquivalenzpfeile setzen, denn ohne diese hat das ganze keinerlei Aussage- oder Beweiskraft.
Du bist dann komplett fertig. MIt "==>" hast Du gezeigt, daß, wenn es eine Lösung gibt, diese nur b-a sein kann, und mit der Rückrichtung "<==" , daß b-a die Gleichung löst.
Bloß, bringst Du das so richtig deutlich rüber???
Diese Aufgaben mit Existenz und Eindeutigkeit wird es im weiteren Verlauf immer wieder geben. Man zeigt dann Ex. und Eindeutigkeit oft getrennt. Für die Existenz nimmt man eine Lösung (zu welcher man irgendwie gekommen ist. Schmierpapier.) und zeigt, daß es wirklich eine Lösung ist.
Für die Eindeutigkeit nimmt man an, daß es zwei Lösungen gibt und zeigt, daß sie identisch sind.
Ich mach's Dir an Deinem Beispiel vor:
1. Existenz:
Sei x:=b-a ( [mm] \in \IR [/mm] )
Dann ist a-x=a-(b-a)=...=b.
Also löst x:= b-a die Gleichung.
2. Eindeutigkeit:
Seien x,y [mm] \in \IR [/mm] mit a+x=b und a+y=b.
Dann ist x= ... = -a+(a+x)=-a+(a+y)=...=y.
Somit ist die Lösung von a+x=b eindeutig bestimmt.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
