Frage zu einem Beweis < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:56 Sa 03.07.2010 | | Autor: | B-Ball |
| Aufgabe | Satz: Eine Funktion [mm]f : D\rightarrow\IR[/mm] ist in einem Punkt [mm]x_0\in D[/mm] genau dann differenzierbar mit Ableitung [mm]f'(x_0)[/mm], wenn zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]\delta_\varepsilon>0[/mm] existiert, so dass gilt:
[mm]x_0+h\in D, \left|h\right|<\delta_\varepsilon\qquad\Rightarrow\qquad\left|\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-f'(x_0)\right|<\varepsilon[/mm]. |
Hey!
Also die Aussage des Satzes usw. ist mir ja eigentich klar! In meinem Skript steht aber allerdings zum Beweis nur: "Der Beweis ist evident"!
Nun gut wenn man weiß wie der Differenzenquotient definiert ist und so sollte er es auch sein denke ich... allerdings kommt mir das doch noch ein bisschen zu simple vor (und vor allem zu unmathematisch) wie ich da vorgehe:
Also:
Im Prinzip ist das ja nichts anderes, als würde ich in meinen Differenzenquotienten für h eine Nullfolge [mm]h_n[/mm] einsetzen. Dann nähert sich die Differenz von meinen Differenzenquotienten und dem jeweiligen Ergebnis immer näher der Null an... das heißt zu jedem beliebig kleinen [mm]\varepsilon>0[/mm] existiert ein Folgeglied [mm]h_i[/mm], sodass die Bedinungen erfüllt sind.
Ist das nun schon genug? Ich wäre dankbar für eure hilfe, da ich demnächst über Differenzierbarkeit referieren muss und es doch sehr peinlich wäre einen so evidenten beweis falsch vorzutragen...;)
achja und im Prinzip ist dieser Satz ja nichts anderes wie ein Kriterium um die diffbarkeit an einem Punkt zu überprüfen oder??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
danke für eure hilfe!
Gruß B-Ball
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 So 04.07.2010 | | Autor: | max3000 |
Wie habt ihr denn die Differenzierbarkeit in einem Punkt [mm] x_0 [/mm] definiert?
Für mich ist das irgendwie schon die Definition und darum weiß ich auch nicht was es da zu beweisen gibt.
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Hallo,
wie max3000 schon geschrieben hat, ist es wichtig, dass wir eure Definition von Differenzierbarkeit kennen, um auf diese Frage zu antworten.
Egal wie sie genau lauten wird, der Beweis ist wirklich evident.
Normalerweise def. man Differenzierbarkeit einer Funktion f im Punkt [mm] x_0 [/mm] so:
f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar [mm] \gdw $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ [/mm] ex., man setzt dann [mm] $f'(x_0) :=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
[/mm]
Das bedeutet aber nichts anderes, als dass
[mm] $\left|f'(x_0)-\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right|$
[/mm]
eine Nullfolge bzgl. der Nullfolge h ist (Interpretiert man, wie ursprünglich definiert, $h = [mm] (h_n)_{n\in\IN}$ [/mm] als eine beliebige Nullfolge, so ist der obige Ausdruck eine Nullfolge bzgl. n. Dann wendet man die Definition von Konvergenz an und erhält genau, was dasteht) !
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 So 04.07.2010 | | Autor: | B-Ball |
hey danke für die antworten
ja wir habe das so definert wie ihr geschrieben habt.. also mit dem h und dem limes...
was meint du mit anwenden von den regeln der konvergenz?
gruß
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Hallo!
Der Beweis der Identität ist tatsächlich nicht sooo evident.
Gegeben sei f und [mm] x_0\in [/mm] D.
Aussage 1: f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar mit Ableitung [mm] f'(x_0), [/mm] d.h.:
[mm] \forall (h_n)_{n\in\IN} [/mm] Nullfolge mit [mm] $(x_0+h_n)\in [/mm] D$ gilt:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N\in\IN: \forall [/mm] n > N: [mm] \left|\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}-f'(x_0)\right| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Aussage 2: [mm] \forall (h_n)_{n\in\IN} [/mm] Nullfolge mit [mm] $(x_0+h_n)\in [/mm] D$ gilt:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta_\varepsilon [/mm] > 0: [mm] \forall n\in [/mm] N: [mm] |h_n| [/mm] < [mm] \delta_\varepsilon \Rightarrow \left|\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}-f'(x_0)\right| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
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Mach' dir zunächst den Unterschied zwischen den beiden Aussagen klar.
Nun kommen die Beweise:
$A2 [mm] \Rightarrow [/mm] A1$: ist einfach:
Sei [mm] (h_{n})_{n\in\IN} [/mm] beliebige Nullfolge mit den geforderten Eigenschaften.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig. Wegen A2 folgt: Es gibt ein [mm] \delta_{\varepsilon} [/mm] > 0, so dass für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] $|h_n| [/mm] < [mm] \delta_\varepsilon \Rightarrow \left|\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}-f'(x_0)\right| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Da [mm] h_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge ist, gibt es zum gegebenen [mm] \delta_{\varepsilon} [/mm] ein [mm] N\in\IN [/mm] so, dass für alle n > N gilt: [mm] |h_{n}-0| [/mm] = [mm] |h_n| [/mm] < [mm] \delta_\varepsilon.
[/mm]
Sei nun n > N. Dann ist: [mm] $|h_n| [/mm] < [mm] \delta_\varepsilon \Rightarrow \left|\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}-f'(x_0)\right| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Das ist die Aussage von A1.
$A1 [mm] \Rightarrow [/mm] A2$: funktioniert mit Widerspruch.
Sei [mm] (h_{n})_{n\in\IN} [/mm] beliebige Nullfolge mit den geforderten Eigenschaften.
Angenommen, A2 würde nicht gelten. Dann müsste ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existieren, so dass:
[mm] $\forall \delta_\varepsilon [/mm] > 0: [mm] \exists n\in\IN: |h_{n}| [/mm] < [mm] \delta_\varepsilon \mbox{ UND } \left|\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}-f'(x_0)\right| [/mm] > [mm] \varepsilon$. [/mm] (*)
Wir wählen nun sukzessive für [mm] \delta_k [/mm] die Werte 1/k.
Ab jetzt bin ich mir zugegebenermaßen nicht mehr sicher, ob es einfacher geht, glaube aber nicht.
Durch die sukzessive Wahl der [mm] \delta_k [/mm] erhalten wir eine Folge [mm] $(c_k)_{k\in\IN}\subset\IN$ [/mm] von den n's die wir durch die Aussage (*) erhalten, d.h. für alle [mm] k\in\IN [/mm] gilt:
[mm] $|h_{c_k}| [/mm] < [mm] \delta_k \mbox{ UND } \left|\frac{f(x_0+h_{c_k})-f(x_0)}{h_{c_k}}-f'(x_0)\right| [/mm] > [mm] \varepsilon$
[/mm]
Fall 1: [mm] (c_k) [/mm] ist beschränkt: Dann hat [mm] (c_k) [/mm] einen Häufungspunkt [mm] c\in\IN. [/mm] Wir wählen eine Teilfolge [mm] (c_k_l) [/mm] von [mm] (c_k) [/mm] aus, die gegen den HP c konvergiert. Dann haben wir für alle [mm] l\in\IN:
[/mm]
[mm] $|h_c_k_l| [/mm] < [mm] \delta_k_l [/mm] = [mm] \frac{1}{k_l}$.
[/mm]
Mit [mm] l\to\infty [/mm] folgt [mm] $|h_c| [/mm] = 0$, d.h. es ex. ein [mm] c\in\IN [/mm] mit [mm] $h_c [/mm] = 0$. Das ist ein Widerspruch zu [mm] $h_n\not= [/mm] 0$ für alle [mm] n\in\IN [/mm] (Diese Voraussetzung gilt "global", denn sonst existieren die Ausdrücke " [mm] \left|\frac{f(x_0+h_{n})-f(x_0)}{h_{n}}-f'(x_0)\right| [/mm] " ja gar nicht! )
Fall 2: [mm] (c_k) [/mm] ist unbeschränkt: Dann hat [mm] (c_k) [/mm] eine Teilfolge [mm] (c_k_l), [/mm] die bestimmt gegen unendlich konvergiert (d.h. [mm] $c_{k_{l+1}} [/mm] > [mm] c_k_l$ [/mm] und [mm] $c_k_l \to\infty$). [/mm] Dann folgt für alle [mm] l\in\IN:
[/mm]
[mm] $\left|\frac{f(x_0+h_{c_k_l})-f(x_0)}{h_{c_k_l}}-f'(x_0)\right| [/mm] > [mm] \varepsilon$,
[/mm]
d.h. der Grenzübergang [mm] l\to\infty [/mm] bringt:
[mm] $\lim_{l\to\infty}\left|\frac{f(x_0+h_{c_k_l})-f(x_0)}{h_{c_k_l}}-f'(x_0)\right| \ge \varepsilon$.
[/mm]
Dies ist aber ein Widerspruch zu A1, denn nach A1 ex. der Limes und ist 0.
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Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 So 04.07.2010 | | Autor: | B-Ball |
Hey steppenhahn!
Erst mal vielen Dank für deine ausfürliche antwort und deine Mühe!
So wie du das schilderst erscheint mir der beweis aber alles andere als (wie in unserem Skript angegeben) evident...;)
ich denke schon, dass das so korrekt ist wie du vorgehst, allerdings bin ich mir nicht sicher, ob man das mit einfachen begründungen usw. durch argumente zeigen kann...
naja wie dem auch sei vielen dank!
Gruß
B-Ball
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