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Frage zum Beweis: Längste Wege
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:32 So 05.02.2017
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Beweise, dass in einem zusammenhängenden ungerichteten Graphen G je zwei längste Wege einen gemeinsamen Knoten haben.

Hallo,

ich habe eine Frage zu dem Beweis:

Der sieht folgendermaßen aus: Angenommen, seien { [mm] v_0,v_1,...,v_n [/mm] } und { [mm] w_0,w_1,...,w_n [/mm] } die disjunkten Knotenmengen von zwei längsten Wegen q und r der Länge n in G mit [mm] d_G(v_0,v_i) [/mm] = [mm] d_G(w_0,w_i) [/mm] = i für alle 0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n. Da G zusammenhängend ist, gibt es Knoten [mm] v_l [/mm] und [mm] w_k [/mm] auf beiden Wegen, die durch einen Weg p verbunden sind. O.B.d.A liegen außer [mm] v_l [/mm] und [mm] w_k [/mm] keine anderen Knoten von q bzw. r auf p. p hat Länge [mm] \ge [/mm] 1 wegen [mm] v_l \not= w_k. [/mm] Wir betrachten die 4 Wege von [mm] v_0 [/mm] bzw. [mm] v_n [/mm] über [mm] v_l, w_k [/mm] nach [mm] w_0 [/mm] bzw. [mm] w_n [/mm] Die Summe ihrer Längen ist [mm] \ge [/mm] 4n+4. Damit gibt es einen Weg der Länge > n. Widerspruch.

Ich verstehe alles bis auf den fett markierten Satz. Wieso gibt es jetzt 4 Wege? Wie kommt man auf die 4 Wege ?

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Frage zum Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:44 Di 07.02.2017
Autor: HJKweseleit

Vereinfacht sieht die Situation folgendermaßen aus:


[mm] V_0 --------------v_i---------------------v_n [/mm]
                      /
                     /
                    /p
                    |
                    |
[mm] w_0------------w_i-----------------------w_n [/mm]


Die 4 betrachteten Wege sind dann

[mm] v_0-v_i-w_i-w_n [/mm]

[mm] v_0-v_i-w_i-w_0 [/mm]

[mm] v_n-v_i-w_i-w_n [/mm]

[mm] v_n-v_i-w_i-w_0. [/mm]
                    

Bezug
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