Frage zum Beweis des Supremum < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Di 12.10.2010 | | Autor: | Kato |
| Aufgabe | Bestimme Supremum und Infimum der folgenden Menge und prüfe, ob diese Menge ein Maximum oder ein Minimum besitzt:
[mm] A:=\left\{\bruch{|x|}{1+|x|} ; x \in \IR \right\} [/mm] |
Hallo,
ich behaupte, dass inf(A)=0 und sup(A)=1.
Das Infimum kann ich relativ leicht beweisen und auch zeigen, dass es gleichzeitig das Minimum von A ist.
Probleme habe ich beim Supremum. Hier habe ich einige Fragen:
1. Wieso langt es nicht, wenn ich zeige:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|x|}{1+|x|}=\bruch{1}{\bruch{1}{|x|}+1}=1
[/mm]
2. Da der Limes scheinbar nicht langt, muss ich das Supremum beweisen.
Das habe ich folgendermaßen gemacht:
[mm] \bruch{|x|}{1+|x|}>1-h [/mm] mit h>0
[mm] \Rightarrow [/mm] |x|>(1-h)(1+|x|)
[mm] \Rightarrow [/mm] |x|>1+|x|-h|x|-h
[mm] \Rightarrow [/mm] h|x|>1-h
[mm] \Rightarrow |x|>\bruch{1}{h}-1
[/mm]
Mir ist nun nicht bewusst, was ich daraus großartig ableiten kann.
Klar die Aussagen ist wahr für alle h>0, aber was würde z.B. passieren, wenn ich jetzt statt 1 irgendeine andere Zahl genommen hätte?
Bekomme ich dann immer eine falsche Aussage?
Des Weiteren muss ich ja zeigen, dass x [mm] \in [/mm] A [mm] \forall |x|>\bruch{1}{h}-1. [/mm] Wie mache ich das?
Meine Idee wäre ja [mm] \forall [/mm] h > 0 [mm] \exists [/mm] x : [mm] \bruch{|x|}{1+|x|} [/mm] > [mm] \bruch{1}{h}-1. [/mm]
Wäre das Richtig?
Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig Klarheit verschaffen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße und vielen Dank im Voraus.
Kato
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Di 12.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimme Supremum und Infimum der folgenden Menge und
> prüfe, ob diese Menge ein Maximum oder ein Minimum
> besitzt:
> [mm]A:=\left\{\bruch{|x|}{1+|x|} ; x \in \IR \right\}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich behaupte, dass inf(A)=0 und sup(A)=1.
>
> Das Infimum kann ich relativ leicht beweisen und auch
> zeigen, dass es gleichzeitig das Minimum von A ist.
>
> Probleme habe ich beim Supremum. Hier habe ich einige
> Fragen:
>
> 1. Wieso langt es nicht, wenn ich zeige:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|x|}{1+|x|}=\bruch{1}{\bruch{1}{|x|}+1}=1[/mm]
Warum sollte denn das Supremum ausgerechnet erreicht/angenähert werden, wenn x gegen unendlich geht?
Es könnte ja auch ein "Zwischen-Hoch" geben.
Die Grenzwertbetrachtung wäre durchaus legitim, wenn sie mit einer gleichzeitigen Monotoniebetrachtung verbunden wäre.
>
> 2. Da der Limes scheinbar nicht langt, muss ich das
> Supremum beweisen.
> Das habe ich folgendermaßen gemacht:
> [mm]\bruch{|x|}{1+|x|}>1-h[/mm] mit h>0
Was ist das jetzt?
Eine Annahme?
Etwas, das aus anderen Sachverhalten abgeleitet wurde?
Gruß Abakus
> [mm]\Rightarrow[/mm] |x|>(1-h)(1+|x|)
> [mm]\Rightarrow[/mm] |x|>1+|x|-h|x|-h
> [mm]\Rightarrow[/mm] h|x|>1-h
> [mm]\Rightarrow |x|>\bruch{1}{h}-1[/mm]
>
> Mir ist nun nicht bewusst, was ich daraus großartig
> ableiten kann.
> Klar die Aussagen ist wahr für alle h>0, aber was würde
> z.B. passieren, wenn ich jetzt statt 1 irgendeine andere
> Zahl genommen hätte?
> Bekomme ich dann immer eine falsche Aussage?
>
> Des Weiteren muss ich ja zeigen, dass x [mm]\in[/mm] A [mm]\forall |x|>\bruch{1}{h}-1.[/mm]
> Wie mache ich das?
> Meine Idee wäre ja [mm]\forall[/mm] h > 0 [mm]\exists[/mm] x :
> [mm]\bruch{|x|}{1+|x|}[/mm] > [mm]\bruch{1}{h}-1.[/mm]
> Wäre das Richtig?
>
> Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig Klarheit verschaffen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Liebe Grüße und vielen Dank im Voraus.
> Kato
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Di 12.10.2010 | | Autor: | Kato |
Danke für die schnelle Reaktion.
> > 2. Da der Limes scheinbar nicht langt, muss ich das
> > Supremum beweisen.
> > Das habe ich folgendermaßen gemacht:
> > [mm]\bruch{|x|}{1+|x|}>1-h[/mm] mit h>0
> Was ist das jetzt?
> Eine Annahme?
> Etwas, das aus anderen Sachverhalten abgeleitet wurde?
> Gruß Abakus
Das ist ein Satz, welcher so bei uns im Skript steht:
Sei h [mm] \in \IR, [/mm] h>0 fest und sei A [mm] \subset \IR, [/mm] dann gilt
[mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A : x > sup A - h .
Lieber Gruß,
Kato
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> Bestimme Supremum und Infimum der folgenden Menge und
> prüfe, ob diese Menge ein Maximum oder ein Minimum
> besitzt:
> [mm]A:=\left\{\bruch{|x|}{1+|x|} ; x \in \IR \right\}[/mm]
>
> Hallo,
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
>
> ich behaupte, dass inf(A)=0 und sup(A)=1.
Ja, das wäre auch das, was ich selbst zu beweisen versuchen würde.
>
> Das Infimum kann ich relativ leicht beweisen und auch
> zeigen, dass es gleichzeitig das Minimum von A ist.
>
> Probleme habe ich beim Supremum. Hier habe ich einige
> Fragen:
>
> [mm]\bruch{|x|}{1+|x|}>1-h[/mm] mit h>0
> [mm]\Rightarrow[/mm] |x|>(1-h)(1+|x|)
> [mm]\Rightarrow[/mm] |x|>1+|x|-h|x|-h
> [mm]\Rightarrow[/mm] h|x|>1-h
> [mm]\Rightarrow |x|>\bruch{1}{h}-1[/mm]
>
> Mir ist nun nicht bewusst, was ich daraus großartig
> ableiten kann.
> Klar die Aussagen ist wahr für alle h>0, aber was würde
> z.B. passieren, wenn ich jetzt statt 1 irgendeine andere
> Zahl genommen hätte?
> Bekomme ich dann immer eine falsche Aussage?
>
> Des Weiteren muss ich ja zeigen, dass x [mm]\in[/mm] A [mm]\forall |x|>\bruch{1}{h}-1.[/mm]
> Wie mache ich das?
> Meine Idee wäre ja [mm]\forall[/mm] h > 0 [mm]\exists[/mm] x :
> [mm]\bruch{|x|}{1+|x|}[/mm] > [mm]\bruch{1}{h}-1.[/mm]
> Wäre das Richtig?
>
> Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig Klarheit verschaffen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Liebe Grüße und vielen Dank im Voraus.
> Kato
> 1. Wieso langt es nicht, wenn ich zeige:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|x|}{1+|x|}=\bruch{1}{\bruch{1}{|x|}+1}=1[/mm]
Gegenfrage: wieso sollte das reichen? Was hat der Grenzwert gegen [mm] \infty [/mm] mit dem Supremum zu tun?
Bei der Menge [mm] B:=\{ (x-3)^2+5| x\in \IR\} [/mm] kommst Du so ja nicht weiter, abakus wies bereits daraufhin.
>
> 2. Da der Limes scheinbar nicht langt, muss ich das
> Supremum beweisen.
> Das habe ich folgendermaßen gemacht:
Du möchtest jetzt den in Deinem anderen Beitrag von Dir zitierten Satz
>Sei h [mm] \in \IR, [/mm] h>0 fest und sei A [mm] \subset \IR, [/mm]
> dann gilt[mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A : x > sup A - h .
verwenden.
Allerdings solltest Du zuvor den Satz korrekt zitieren, hier: die Voraussetzungen nennen.
Dein Satz handelt nämlich von einer Teilmenge des [mm] \IR, [/mm] welche ein Supremum hat.
In dem Satz wird nun gesagt: wenn die Menge A ein Supremum S:=sup A hat, dann finde ich zu jedem beliebigen h ein Element a der Menge A, welches zwischen dem Supremum und S-h liegt.
Das bedeutet: S ist die kleinste aller oberen Schranken. Jede Zahl, die kleiner ist, ist keine obere Schranke mehr.
So, diesen Satz nun kannst Du Dir wirklich zunutze machen, indem Du zeigst, daß die Annahme, daß es eine kleinere obere Schranke als die 1 gibt, es also ein h gibt, so daß 1-h eine obere Schranke ist, zum Widerspruch führt:
Offensichtlich ist 1 eine obere Schranke von A.
Angenommen, es gäbe eine kleinere obere Schranke.
Dann gibt es ein h>0 so, daß 1-h eine obere Schranke von A ist.
Das bedeutet: alle Elemente von A wären kleiner als die Schranke 1-h.
Es würde also für jedes [mm] x\in \IR [/mm] gelten:
[mm]\bruch{|x|}{1+|x|}<1-h[/mm]
<==>
[mm] h<1-\bruch{|x|}{1+|x|}=\bruch{1}{1+|x|}
[/mm]
Da dies für jedes [mm] x\in \IR [/mm] gilt, gilt es auch für [mm] x=\bruch{1}{h},
[/mm]
woraus folgt
[mm] h<\bruch{1}{1+|bruch{1}{h}|}=bruch{h}{1+h}. [/mm] Widerspruch!
Also ist die Annahme, daß es eine kleinere obere Schranke als 1 gibt falsch. Somit ist 1 die kleinste obere Schranke von A - also das Supremum.
Gruß v. Angela
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