Frage zum Konvergenzbeweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 So 12.01.2014 | | Autor: | UIWler |
Hallo,
ich habe eine kleine Frage zur Konvergenz von folgen. Bisher sind wir in den Übungen immer so vorgegangen, dass wir zuerst das N(e) mittels Abschätzungen bestimmt haben und anschließend den Beweissatz "Sei Epsilon>0. Wähle N(e) ... alle n>=N(e):" aufgeschrieben haben und dann die N(e)-Bestimmung fast komplett noch mal neu aufgeschrieben haben.
Reicht es nicht aus, wenn man den Satz am Anfang hinschreibt, wobei man die Wahl des N(e) erstmal auslässt, dann die Rechnung durchführt und hinterher einfach nur die Wahl des N(e) einfügt?
Falls nicht klar geworden ist, was ich meine, werde ich mich bemühen es mathematischer auszudrücken. :)
Vielen Dank und einen schönen Sonntag noch. :)
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich habe eine kleine Frage zur Konvergenz von folgen.
> Bisher sind wir in den Übungen immer so vorgegangen, dass
> wir zuerst das N(e) mittels Abschätzungen bestimmt haben
> und anschließend den Beweissatz "Sei Epsilon>0. Wähle
> N(e) ... alle n>=N(e):" aufgeschrieben haben und dann die
> N(e)-Bestimmung fast komplett noch mal neu aufgeschrieben
> haben.
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> Reicht es nicht aus, wenn man den Satz am Anfang
> hinschreibt, wobei man die Wahl des N(e) erstmal auslässt,
> dann die Rechnung durchführt und hinterher einfach nur die
> Wahl des N(e) einfügt?
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> Falls nicht klar geworden ist, was ich meine, werde ich
> mich bemühen es mathematischer auszudrücken. :)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Normalerweise macht man das so:
man schreibt
"Sei [mm] \varepsilon>0. [/mm]
Wähle [mm] N(\varepsilon):= [/mm] ...
Für alle [mm] n>=N(\varepsilon) [/mm] gilt:"
Das passende [mm] N(\varepsilon) [/mm] hat man zuvor auf einem Schmierzettel bestimmt, oder man bestimmt es im Laufe der Rechnung in einer nichtöffentlichen Nebenrechnung, und man fügt es dann am Anfang ein.
Wie man auf das [mm] N(\varepsilon) [/mm] gekommen ist, muß man nicht sagen. Das interessiert nicht.
Nur vorrechnen, daß es mit diesem [mm] N(\varepsilon) [/mm] funktioniert.
(Das wirkt dann oft etwas zauberisch.)
LG Angela
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> Vielen Dank und einen schönen Sonntag noch. :)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 So 12.01.2014 | | Autor: | UIWler |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die Folge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gegen 0 konvergiert. |
Hallo Angela,
vielen Dank für deine Antwort.
Du hast geschrieben, dass man die Nebenrechnung nicht "öffentlich" durchführt. Aber im Prinzip unterscheiden sich die Bestimmung von [mm] N(\varepsilon) [/mm] und "zeigen, dass es mit diesem [mm] N(\varepsilon) [/mm] funktioniert doch kaum?
Was ich meine mal illustriert:
Wie man vorgehen würde:
1.
(Schmierblatt, Bestimmung von [mm] N(\varepsilon))
[/mm]
[mm] |a_{n}-a|=|\bruch{1}{n}-0|=|\bruch{1}{n}|=\bruch{1}{n}\le \bruch{1}{N(\varepsilon)}=\varepsilon \Rightarrow N(\varepsilon)=\bruch{1}{\varepsilon} [/mm]
2.
Sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] Wähle [mm] N(\varepsilon):= \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] dann gilt für alle n [mm] \ge N(\varepsilon):
[/mm]
[mm] |a_{n}-a|=|\bruch{1}{n}-0|=|\bruch{1}{n}|=\bruch{1}{n} \le \bruch{1}{N(\varepsilon)}= \bruch{1}{\bruch{1}{\varepsilon}}=\varepsilon
[/mm]
Wie ich es gerne hätte (:P):
1.
Sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] Wähle [mm] N(\varepsilon):= [/mm] [....],dann gilt für alle n [mm] \ge N(\varepsilon):
[/mm]
2.
[mm] |a_{n}-a|=|\bruch{1}{n}-0|=|\bruch{1}{n}|=\bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{N(\varepsilon)} [/mm]
(an dieser Stelle würde ich dann auf einem Schmierblatt [mm] \bruch{1}{N(\varepsilon)} [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] nach [mm] N(\varepsilon) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] umstellen und wäre so auf das [mm] N(\varepsilon) [/mm] gekommen und würds oben reinschreiben.)
= [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{\varepsilon}}=\varepsilon
[/mm]
Wäre das formal falsch? Was ich mir dadurch ersparen möchte ist dich das ganze Abschätzen usw. nur 1x mache bzw. schreibe.
Mit freundlichen Grüßen
Daniel
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Hallo Daniel,
> Beweisen Sie, dass die Folge [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] gegen 0
> konvergiert.
>
> Hallo Angela,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
>
> Du hast geschrieben, dass man die Nebenrechnung nicht
> "öffentlich" durchführt. Aber im Prinzip unterscheiden
> sich die Bestimmung von [mm]N(\varepsilon)[/mm] und "zeigen, dass es
> mit diesem [mm]N(\varepsilon)[/mm] funktioniert doch kaum?
>
> Was ich meine mal illustriert:
>
> Wie man vorgehen würde:
>
> 1.
> (Schmierblatt, Bestimmung von [mm]N(\varepsilon))[/mm]
> [mm]|a_{n}-a|=|\bruch{1}{n}-0|=|\bruch{1}{n}|=\bruch{1}{n}\le \bruch{1}{N(\varepsilon)}=\varepsilon \Rightarrow N(\varepsilon)=\bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
Ja, bzw. muss ja [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] eine natürliche Zahl sein, daher genauer [mm] $\IN\ni N(\varepsilon)\ge\frac{1}{\varepsilon}$, [/mm] etwa [mm] $N(\varepsilon)=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1$ [/mm] (Gaußklammer)
Damit hättest du die nächstgrößere nat. Zahl zu [mm] $\frac{1}{\varepsilon}$
[/mm]
Vllt. solltest du auch erwähnen, warum es eine solche natürliche Zahl [mm] $N(\varepsilon)\ge \frac{1}{\varepsilon}$ [/mm] überhaupt gibt ... (Archimedisches Axiom)
>
> 2.
> Sei [mm]\varepsilon>0.[/mm] Wähle [mm]N(\varepsilon):= \bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
siehe Anmerkung dazu in 1.
> dann gilt für alle n [mm]\ge N(\varepsilon):[/mm]
>
> [mm]|a_{n}-a|=|\bruch{1}{n}-0|=|\bruch{1}{n}|=\bruch{1}{n} \le \bruch{1}{N(\varepsilon)}= \bruch{1}{\bruch{1}{\varepsilon}}=\varepsilon[/mm]
Mit [mm] $\IN\ni N(\varepsilon)\ge \frac{1}{\varepsilon}$ [/mm] hast du dann im vorletzten Schritt statt "=" ein [mm] $\le$ [/mm] , die Ungleichungskette bleibt also schön erhalten
>
>
> Wie ich es gerne hätte (:P):
>
> 1.
> Sei [mm]\varepsilon>0.[/mm] Wähle [mm]N(\varepsilon):=[/mm] [....],dann gilt
> für alle n [mm]\ge N(\varepsilon):[/mm]
>
> 2.
> [mm]|a_{n}-a|=|\bruch{1}{n}-0|=|\bruch{1}{n}|=\bruch{1}{n}[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{N(\varepsilon)}[/mm]
>
> (an dieser Stelle würde ich dann auf einem Schmierblatt
> [mm]\bruch{1}{N(\varepsilon)}[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] nach [mm]N(\varepsilon)[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] umstellen und wäre so auf das
> [mm]N(\varepsilon)[/mm] gekommen und würds oben reinschreiben.)
>
> = [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{\varepsilon}}=\varepsilon[/mm]
>
>
> Wäre das formal falsch? Was ich mir dadurch ersparen
> möchte ist dich das ganze Abschätzen usw. nur 1x mache
> bzw. schreibe.
Das einzige, was du sparst, sind die Terme bis [mm] $\frac{1}{N(\varepsilon)}$
[/mm]
Das kannst du natürlich auf "deine" Art und Weise genauso machen, es unterscheidet sich ja von Angelas Vorgehen nicht, außer dass sie bis [mm] $1/N(\varepsilon)$ [/mm] die Chose 2mal schreibt.
Formal machst du keinen Fehler, achte nur darauf, was ich zu dem [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] in den Anmerkungen schrieb...
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 So 12.01.2014 | | Autor: | UIWler |
Hallo schachuzipus,
vielen Dank für deine Antwort.
Stimmt, bei dem Konvergenzbeweis habe ich etwas geschlampt. Aber ich weiß ja jetzt wo, danke. :)
In einer Hausaufgabe würde ich es eigentlich auch einmal vorschreiben und dann noch einmal sauber hinschreiben. Aber in der Klausur hätte ich dann wahrscheinlich 5 Minuten weniger Zeit, daher meine Frage.
Wünsche euch noch einen schönen Sonntag! :)
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