Frage zum ggt im Ring Z < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sind a, b, c ∈ Z mit ggT(b, c) = 1, dann ist ggT(a, bc) = ggT(a, b)ggT(a, c) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich konnte bereits zeigen, dass die rechte Seite die linke teilt.
Wenn ich jetzt noch zeige, dass die linke Seite die rechte teilt wäre ich fertig.
Hat jemand einen Tip?
Nachtrag: Ich würde das gerne ohne beispielsweise Primfaktorzerlegungen beweisen, sondern nur aus der Definition des ggt bzw. aus dem Teilbarkeitsbegriff in Z heraus.
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 So 18.08.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sind a, b, c ∈ Z mit ggT(b, c) = 1, dann ist ggT(a, bc) =
> ggT(a, b)ggT(a, c)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich konnte bereits zeigen, dass die rechte Seite die linke
> teilt.
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> Wenn ich jetzt noch zeige, dass die linke Seite die rechte
> teilt wäre ich fertig.
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> Hat jemand einen Tip?
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> Nachtrag: Ich würde das gerne ohne beispielsweise
> Primfaktorzerlegungen beweisen, sondern nur aus der
> Definition des ggt bzw. aus dem Teilbarkeitsbegriff in Z
> heraus.
Ich glaube nicht, dass das geht. Denn wenn du es so folgern koenntest, muesste das auch in beliebigen Integritaetsbereichen gelten (weil das Argument da genauso funktionieren sollte). Und dort wirst du Muehe haben, aus $m [mm] \mid [/mm] b c$ zu folgern, dass man $m = [mm] m_1 m_2$ [/mm] schreiben kann mit [mm] $m_1 \mid [/mm] b$, [mm] $m_2 \mid [/mm] c$. Und genau das brauchst du hier.
(Es reicht ja zu zeigen: ist $d$ irgendein gemeinsamer Teiler von $a$ und $b c$, so ist es auch einer von $ggT(a, b) ggT(a, c)$. Und dafuer musst du das so aufteilen.)
LG Felix
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Danke für die Antwort, ich mache hier schon ewig rum und denke, das muss doch ganz einfach gehen. Aber nach Ihrem Argument belasse ich es dann wohl beim Alternativbeweis über die Primzahldarstellungen.
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 20.08.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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