Frage zur Adjunkte einer 2*2 < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Do 13.09.2012 | | Autor: | Shumuu |
| Aufgabe | | Ist die Matrix B [mm] \pmat{1 & 3\\2 & 4} [/mm] invertierbar ? |
Ich habe keine Probleme mit der invertieren oder rauszufinden ob sie invertierbar ist (mit dem Gauß Jordan Alg.)
Ich hab mir aber nun mal das Verfahren der Adjunkten angeschaut und habe
da folgendes PDF gefunden
http://volkerbehrens.de/daten/Die%20inverse%20Matrix.pdf
"DetA11 ist dabei wieder die Determinante der Matrix ohne die Zeile 1 und die Spalte 1."
Wie bildet sich hierbei genau die Determinante ?
Für Zeile 1 Spalte 1 ist es anscheinend in meinem Fall 4
Also
[mm] det_{11} [/mm] = 4
[mm] det_{12} [/mm] = 3
[mm] det_{21} [/mm] = 2
[mm] det_{22} [/mm] = 1
Um es nochmal klar zu machen, warum ist es für Zeile 1 Spalte 1 4 (und nicht 1) und warum für Zeile 2 Spalte 2 nicht 4 sondern 1?
Wie berechnet sich dort die Determinante ?
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Hi,
> Ist die Matrix B [mm]\pmat{1 & 3\\2 & 4}[/mm] invertierbar ?
> Ich habe keine Probleme mit der invertieren oder
> rauszufinden ob sie invertierbar ist (mit dem Gauß Jordan
> Alg.)
>
> Ich hab mir aber nun mal das Verfahren der Adjunkten
> angeschaut und habe
> da folgendes PDF gefunden
>
> http://volkerbehrens.de/daten/Die%20inverse%20Matrix.pdf
>
> "DetA11 ist dabei wieder die Determinante der Matrix ohne
> die Zeile 1 und die Spalte 1."
Hier steht doch alles wichtige.
>
> Wie bildet sich hierbei genau die Determinante ?
> Für Zeile 1 Spalte 1 ist es anscheinend in meinem Fall 4
> Also
> [mm]det_{11}[/mm] = 4
[mm] det_{11} [/mm] soll also heißen, dass von der Ausgangsmatrix A die erste Zeile und die erste Spalte entfernt wird.
Übrig bleibt also [mm] A_{11}=(4). [/mm] Damit ist denn die Determinante [mm] det(A_{11})=4
[/mm]
> [mm]det_{12}[/mm] = 3
> [mm]det_{21}[/mm] = 2
> [mm]det_{22}[/mm] = 1
> Um es nochmal klar zu machen, warum ist es für Zeile 1
> Spalte 1 4 (und nicht 1) und warum für Zeile 2 Spalte 2
> nicht 4 sondern 1?
> Wie berechnet sich dort die Determinante ?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Do 13.09.2012 | | Autor: | Shumuu |
Wenn ich die erste Zeile Spalte entferne steht da
[mm] \pmat{ & 3 \\ 2 & 4 }
[/mm]
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Hello again,
> Wenn ich die erste Zeile Spalte entferne steht da
> [mm]\pmat{ & 3 \\ 2 & 4 }[/mm]
Nein, das steht da gewiss nicht. Du entfernst ja eine ganze Reihe und nicht nur das erste Element davon.
Du entfernst zuerst die erste Zeile:
[mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 4 } [/mm] wird zu: [mm] \pmat{ & \\ 2 & 4 }
[/mm]
Jetzt entfernst du die erste Spalte:
[mm] \pmat{ & \\ 2 & 4 } [/mm] wird zu: [mm] \pmat{ & \\ & 4 }=\pmat{4}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Do 13.09.2012 | | Autor: | Shumuu |
Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah!
Jajajajaja^^ Vielen Dank, manchmal übersieht man eben das offensichtliche, vielen dank ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Do 13.09.2012 | | Autor: | Shumuu |
Hm, nun komm ich aber nicht auf das richtige Ergebnis für
[mm] deta_{21} [/mm] zweite Zeile und erste Spalte entfernen bringt mir [mm] \pmat{ & 2 \\ & }, [/mm] da müsste aber 3 rauskommen
[mm] deta_{12} [/mm] hier müsste 2 rauskommen ...
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Laut dem Skript aber nicht.
Der Autor schreibt ja [mm] detA_{21}=2 [/mm] Es stimmt also alles.
Es ist nur ein ziemliches wirr-warr mit dem Indexen. Da sollte man schon aufpassen. Bei den Einträgen der Adjunkten ist es [mm] a_{ij} [/mm] und bei der Determinante (man nennt die Teile dann auch Minore) ist es [mm] A_{ji}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Do 13.09.2012 | | Autor: | Shumuu |
Ich hab aber eine andere Aufgabe genommen!
Das Skript sollte mir nur helfen die Adjunkte zu verstehen!
Ausgangsmatrix
B = [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 4 }
[/mm]
[mm] a^{#}_{11} [/mm] = [mm] (-1)^{1+1} [/mm] * 4 = 4
[mm] a^{#}_{12} [/mm] = [mm] (-1)^{1+2} [/mm] * 2 = -2
[mm] a^{#}_{21} [/mm] = [mm] (-1)^{2+1} [/mm] * 3 = -3
[mm] a^{#}_{22} [/mm] = [mm] (-1)^{2+2} [/mm] * 1 = 1
B = [mm] \pmat{ 4 & -2 \\ -3 & 1}
[/mm]
[mm] B^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{B#}{-2}
[/mm]
[mm] B^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{-2 & 1 \\ -\bruch{3}{2} & -\bruch{1}{2}}
[/mm]
Diese Matrix ist aber falsch wie man sieht wenn man [mm] B*B^{-1} [/mm] rechnet!
Die inverse Matrix muss lauten [mm] B^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{-2 & \bruch{3}{2} \\ 1 & -\bruch{1}{2}}
[/mm]
Daher nochmal die Frage
Entfernung der ersten Zeile und der zweiten Spalte
det [mm] a_{12} [/mm] = 2 (müsste aber 3 sein!)
Entfernung der zweiten Zeile und ersten Spalte
det [mm] a_{21} [/mm] = 3 (müsste aber 2 sein!)
Warum ? Ist dort eine andere Regelung ?
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Hallo noch einmal,
> Ich hab aber eine andere Aufgabe genommen!
Oh sorry, das war mein Fehler.
> Das Skript sollte mir nur helfen die Adjunkte zu
> verstehen!
>
> Ausgangsmatrix
> B = [mm]\pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 4 }[/mm]
Allgemein:
i sei die Zeilenposition und j die Spaltenposition! Also haben wir Einträge der Formen (i,j).
Nun sind die Einträge der Adjunkten aber genau "andersherum". Also will man den Eintrag an der Position (i,j) berechnen so betrachtet man dann die Minore [mm] M_{ji}. [/mm]
Der Index bei [mm] \hat a_{ij} [/mm] bezeichne die Position in der Adjunkten. Und so berechnet sich [mm] \hat a_{ij}=(-1)^{j+i}*M_{ji}, [/mm] wobei [mm] M_{ji} [/mm] die Minore von der Matrix B ist. Also [mm] M_{ji} [/mm] ist die Determinante die entsteht wenn man die j-te Zeile und die i-te Spalte der Matrix B streicht.
Vielleicht etwas einfacher ausgedrückt:
Angenommen wir haben eine 3x3 Matrix. Und nun wollen wir den Eintrag (2,3) der Adjunkten berechnen. Der Vorfaktor ist klar. Und die entsprechende Minore entsteht nun indem man die 3.te Zeile und die 2.Spalte löscht.
> [mm]a^{#}_{11}[/mm] = [mm](-1)^{1+1}[/mm] * 4 =
> 4
> [mm]a^{#}_{12}[/mm] = [mm](-1)^{1+2}[/mm] * 2 = -2
Damit klärt sich das hier auch alles auf.
> [mm]a^{#}_{21}[/mm] = [mm](-1)^{2+1}[/mm] * 3 = -3
> [mm]a^{#}_{22}[/mm] = [mm](-1)^{2+2}[/mm] * 1 = 1
> B = [mm]\pmat{ 4 & -2 \\ -3 & 1}[/mm]
>
> [mm]B^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{B#}{-2}[/mm]
> [mm]B^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{-2 & 1 \\ -\bruch{3}{2} & -\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Diese Matrix ist aber falsch wie man sieht wenn man
> [mm]B*B^{-1}[/mm] rechnet!
>
> Die inverse Matrix muss lauten [mm]B^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{-2 & \bruch{3}{2} \\ 1 & -\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Daher nochmal die Frage
> Entfernung der ersten Zeile und der zweiten Spalte
> det [mm]a_{12}[/mm] = 2 (müsste aber 3 sein!)
>
> Entfernung der zweiten Zeile und ersten Spalte
> det [mm]a_{21}[/mm] = 3 (müsste aber 2 sein!)
>
> Warum ? Ist dort eine andere Regelung ?
Ich schrieb ja schon einmal, dass das hier ein ziemliches Wirr-Warr mit den Indexen ist. Ich musste selbst immer wieder überlegen, wo nun was ist.
An einem Beispiel, bzw. allgemein in der Praxis geht das ganze aber ganz schnell von der Hand.
Vielleicht noch so viel. Du kannst deinen Weg durchaus weiter so verfolgen, das ist völlig richtig! Nur musst du am Ende deine entstandene Matrix noch transponieren. So umgehst du auch die ganzen Schwierigkeiten mit den Indexen.
Ich hoffe aus meinen Ausführungen wurdest du ein bisschen schlau. Ich fasse noch einmal das wichtige Zusammen:
1) Möchtest du den Eintrag (k,l) der Adjunkten berechnen, so betrachtest du die Minore [mm] M_{lk}
[/mm]
2) Die Minore [mm] M_{lk} [/mm] entsteht durch Streichen der l-ten Zeile und der k-ten Spalte
3) Man "tauscht" also nur den Index.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Do 13.09.2012 | | Autor: | Shumuu |
Na dann hat sich das ganze ja geklärt! Vielen Dank :)
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