Frage zur Analysisaufgabe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Di 06.06.2006 | | Autor: | Osborne |
| Aufgabe | Aufgabe MIII.2:
Gegeben sei die Gleichung
a⋅cos(mx)+b⋅sin(nx)+c=0 ,
wobei die Parameter a, b, c, d, m, n folgende Werte haben:
a = -72, b = -360 , c = 233 , m = 8 , n = 4.
Ermitteln Sie alle Lösungen der Gleichung und geben Sie die Lösungsmenge in geeigneter Form an!
Geben Sie außerdem die 4 kleinsten positiven Lösungen im Gradmaß an!
Anleitung:
Ersetzen Sie cos(mx) unter Ausnutzung geeigneter trigonometrischer Beziehungen durch einen nur von
[mm] sin^{2} [/mm] (nx) abhängigen Ausdruck, überführen Sie damit Gleichung (3) in eine äquivalente Gleichung der Gestalt
[mm] a_{1} [/mm] ⋅ [mm] sin^{2} [/mm] ⋅(nx) [mm] +b_{1} [/mm] ⋅sin (nx) + [mm] c_{1} [/mm] = 0 und substituieren Sie anschließend sin (nx)⋅ k = y (mit einem beliebig gewählten
k≠0).
Zusätzliche Empfehlung zur Substitution sin (nx)⋅k = y :
Selbstverständlich kann k=1gesetzt werden. Die Zahlenwerte bei dieser Aufgabe sind jedoch so gewählt, dass
die Lösung der nach der Substitution entstehenden quadratischen Gleichung rechnerisch einfacher ist, wenn
1 k= [mm] \wurzel{a} [/mm] gesetzt wird (sofern die Koeffizienten in der Gleichung
[mm] a_{1} [/mm] ⋅ [mm] sin^{2} [/mm] ⋅(nx) [mm] +b_{1} [/mm] ⋅sin (nx) + [mm] c_{1} [/mm] = 0 so normiert
wurden, dass [mm] b_{1} [/mm] = b gilt). |
ich habe diese Aufgabe bekommen und ich habe keine Ahnung wie ich sie lösen soll, da es sich hierbei um eine Aufgabe für Fortgeschrittene handelt. Da aber meine Mathekenntnisse auf dem Mathe-Grundkurs 12 basieren, fehlt mir hier das erforderliche Wissen um die Aufgabe zu lösen.
Ich wäre sehr dankbar, wenn sich jemand der Aufgabe annehmen könnte und eine detailierte Lösung angeben könnte.
Ich bedanke mich schon im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Di 06.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Osborn
Komplette Lösungen liefern wir hier nicht! Du lernst dabei ja auch nix!
Aber Tips: wegen des Additionstheorems für cos, das man können sollte (ebenso für sin) gilt:
cos(a+b)=cosa*cosb -sina*sinb.
mit a=b folgt daraus: cos( [mm] 2a)=cos^{2}(a)-sin^{2}(a) [/mm] und mit [mm] cos^{2}(a)+sin^{2}(a)=1 [/mm] folgt [mm] cos(2a)=1-2sin^{2}(a)
[/mm]
mit a=4x kannst du jetzt deie Gleichung umformen.
mit y=sin(4x) oder y=k*sin(4x) wird dann aus deier Gleichung eine gewöhnliche quadratische Gleichung.
Wenn du die Lösung hast, musst du dann noch arcsin bilden um die Lösung für x zu finden, und dabei beachten, dass die sin fkt periodisch ist, du also mit z.Bsp: x=0,2 auch noch die Losungen x=0,2 [mm] \pm n*2\pi [/mm] hast!
Jetzt rechne mal ein Stück, wenn du auf schwierigkeiten stösst, poste was du schon hast und sag genau, wo es hakt!
Gruss leduart
|
|
|
|
