Frage zur Annahme: Unabh. < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:02 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Druss |
Unzwar glaube ich, dass ich das Konzept um die Annahme der Unabhängigkeit noch nicht richtig verstanden habe.
Die Definition von Unabhängigkeit ist ja irgendwie sowas wie, dass
innerhalb einer Stichprobe die Stichprobenvariablen i. Allg. unabhängig
und identisch verteilt sind, wenn und Zufallsstichproben sind.
Beispielsweise wenn die Daten mittels einer Querschnittsstudie erhoben wurden.
Also wenn Daten mittels einem Panel oder Quotenstudie erhoben werden muss man die Annahme der Unabhängigkeit wiederfragen.
Ich meine mich dran zu erinnern, dass Abhängigkeiten entstehen wenn an der gleichen Beobachtungseinheit dieselbe Variable wiederholt gemessen wird (Panel) oder wenn an der selben Beobachtungseinheit mehrere Variablen gleichzeitig gemessen werden.
Wenn ich letzteres beachte so sind doch alle Merkmale in multivariaten Datensätzen jeweilis zeilenweise voneinander abhängig da ich an einem Objekt doch mehrere Merkmale erhebe?
Nun wodrauf ich noch hinaus will ist, dass wenn ich Erwartungswerte berechnen will obiges beachten muss.
Im Fall von
E(X + Y) = E(Y)+E(X)
brauche ich mir soweit ich weiß keine Gedanken machen da bei der Berechnung die Abhängigkeit keine Rolle spielt. Konstruieren wir uns ein kleines Beispiel zur Verdeutlichung:
Nehmen wir mal an, wir hätten eine Zufallsgröße X welche die Augenzahl auf einem Würfel beschreibt und Y die, die Augenzahl auf einem anderem Würfel beschreibt.
Dann ist E(X) = 3.5 und E(Y) = 3.5.
Dann wäre E(X+Y) = 7. Bedeutet jetzt in Worten ausgedrückt, dass wenn ich beide Würfel werfe und beide Augenzahlen zusammen zähle auf lange Sicht 7 als kumulierte Augenzahl erwarten kann.
Im Fall von
E(X*Y)
gilt E(X)*E(Y) nur wenn beide Variablen unabhängig voneinander sind.
Vereinfachen wir obiges Beispiel indem wir zwei dreiseitige Würfel betrachten wobei jede Seite die gleiche Warscheinlichkeit hat geworfen zu werden. Kann ich nun bei meinen Würfen einfach davon ausgehen, dass beide unabhängig voneinander sind? Meine ich werfe beide gleichzeitig und so, dass der eine den anderen nicht beim Fallen beeinflussen kann. Somit müsste doch obiges gelten. Wenn ich das nun berechne habe ich noch ein paar Probleme:
[mm] E(X*Y)=\summe_{i=1}^{3}\summe_{j=1}^{3}(x_{i}*y_{j})*P(X=x_{i},Y=y_{j})
[/mm]
Nun kann ich auch schreiben:
[mm] E(X*Y)=\summe_{i=1}^{3}\summe_{j=1}^{3}(x_{i}*y_{j})*P(X=x_{i})*P(Y=y_{j})
[/mm]
Nun setze ich ja schon hier die Annahme der Unabhängigkeit vorraus da ja gilt wenn ich ein paar
[mm] (x_{i},y_{j}) [/mm] finde für das gilt, dass
[mm] P(X=x_{i},Y=y_{j})\not=P(X=x_{i})*P(Y=y_{j})
[/mm]
sich ergibt aus der Unabhängigkeitsannahme raus bin.
Ich verstehe nun nicht ganz wie das überhaupt klappen kann.
[mm] P(X=x_{i},Y=y_{j}) [/mm] ist doch nichts anderes als [mm] E(X|Y=y_{j})
[/mm]
Angenommen ich schaue mir meinen dreiseitigen Würfel an so gilt doch für
[mm] E(X|Y=y_{j}) [/mm] = E(X) weil die besagten Würfel gerade Unabhängig voneinander sind.
Ein wenig schwer hier eine Tabelle vom besten zu geben aber ich versuchs mal zu beschreiben.
Wir haben eine 3x3 Kontingenztabelle in der alle Einträge nun 1/3 sind wobei Zeilenweise die ergebnisse von Y in Abhängigkeit von X stehen und Spaltenweise die Ergebnisse von X in Abhängigkeit von Y. Jeweils am Rand ergeben sich die Randhäufigkeiten 1.
Berechne ich nun E(X|Y=1) = 1/3*1/3*2+1/3*3=2.
Will ich nun beweisen, dass beide Würfel voneinander Unabhängig sind und E(X)*E(Y) rechne so ergibt sich gerade ein Ergebnis von 2*2 = 4. Obwohl ich angenommen habe, dass beide Würfel voneinander unabh. sind scheinen sie abh. voneinander zu sein?
Glaube, dass ich die Kontignenztabelle nicht so schreiben kann jedoch kann ich kein geeignetes Beispiel finden an welchem ich das Konzept der Unabbhängigkeit gut nachvollziehen lässt.
mfg
Druss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Mo 23.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> Ein wenig schwer hier eine Tabelle vom besten zu geben aber
> ich versuchs mal zu beschreiben.
>
Wo ist das Problem?
$ [mm] \begin{tabular} {@{}ccccc@{}} \hline &\multicolumn{3}{c}{x}&\\\cline{2-4}y& 1 & 2 &3 & \sum\\\hline 1& 1/9 & 1/9 & 1/9 & 1/3 \\ 2& 1/9 & 1/9 & 1/9 & 1/3 \\ 3& 1/9 & 1/9 & 1/9 & 1/3 \\\hline \sum &1/3 & 1/3 & 1/3 &1\\\hline \end{tabular} [/mm] $
Hier ist [mm] $\operatorname{E}[XY]=\operatorname{E}[X]\operatorname{E}[X]$ [/mm] erfuellt.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Druss |
Stimmt :)
Also bei so einer Art Aufgabe hängt die Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit ja irgendwie in den Einträgen der Kontingenztabelle ab.
Wie ist das nun bzgl. mehreren Erhebungen an gleichem Objekt zu verstehen. Meine dort besteht doch i. Allg. auch eine Abhängigkeit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Mo 23.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> Wie ist das nun bzgl. mehreren Erhebungen an gleichem
> Objekt zu verstehen. Meine dort besteht doch i. Allg. auch
> eine Abhängigkeit?
>
Ja, z.B. Koerper- und Schuhgroesse ...
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Druss |
ok vielen dank
mfg
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