Frage zur Imaginären Einheit < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
Ich bin gerade am Stoff wiederholen für die Klausur und stelle mir folgende Frage:
Kann ich [mm] i^2 [/mm] als (-i)*(-i) beschreiben?
D.h [mm] -i*-i=-1*i*-1*i=-1*-1*i*i=1*i^2=-1?
[/mm]
Viele Grüße und danke im Voraus.
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> Hallo.
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> Ich bin gerade am Stoff wiederholen für die Klausur und
> stelle mir folgende Frage:
>
> Kann ich [mm]i^2[/mm] als (-i)*(-i) beschreiben?
>
Ja klar, genauso wie du [mm] $z^{2} [/mm] = (-z)*(-z)$ für jede andere komplexe Zahl schreiben kannst, denn durch die doppelte Multiplikation mit (-1) multiplizierst du insgesamt mit 1. Das darfst du immer machen und manchmal bringt es dir auch was - ob in deinem Kontext weiß ich nicht.
Falls du z.B. damit versuchst zu verstehen, was i überhaupt ist, dann ist es Quatsch.
> D.h [mm]-i*-i=-1*i*-1*i=-1*-1*i*i=1*i^2=-1?[/mm]
>
> Viele Grüße und danke im Voraus.
lg weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Do 27.01.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo weightgainer.
Danke für die Antwort.
Was i ist verstehe ich schon. Mir ging es nur um die Lösung für Nullstellen einer Gleichung.
Viele Grüße :)
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> Ich stelle mir folgende Frage:
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> Kann ich [mm]i^2[/mm] als (-i)*(-i) beschreiben?
>
> D.h [mm]-i*-i=-1*i*-1*i=-1*-1*i*i=1*i^2=-1?[/mm]
Hallo,
beim Lesen von weightgainers Antwort bin ich auf
folgendes Gedankenspiel gekommen:
Bei der Einführung der komplexen Zahlen wird die Zahl $\ i$
oft etwa als "Quadratwurzel aus -1" eingeführt.
Man postuliert also die Existenz eines Rechenobjektes
namens $\ i$ mit der Eigenschaft, dass $\ i*i\ =\ [mm] i^2\ [/mm] =\ -1$ .
Man hält natürlich fest, dass $\ i$ nicht zu den reellen
Zahlen gehören kann, zeigt dann aber, dass man,
wenn man [mm] \IR [/mm] durch diese neu erfundene "Zahl" $\ i$
und alle Zahlen ergänzt, die man sinnvollerweise auch
noch dazu nehmen muss, wieder bei einem "vernünftigen"
Zahlenbereich ankommt, in dem alle bisher gewohnten
Rechenarten uneingeschränkt ausführbar sind (bis auf
die Division durch 0, die nach wie vor "verboten" bleibt).
Bestärkt durch diese Erfahrung gewöhnt man sich an
den Gedanken, dass die neu erfundene "Zahl" $\ i$ im
Prinzip eine bestimmte Zahl wie jede andere sei.
Nun zeigt aber die Rechnung, dass das postulierte $\ i$
offenbar nicht die einzige komplexe Zahl ist, deren
Quadrat den Wert -1 ergibt. Die Eigenschaft, die die
einzige charakteristische Eigenschaft von i ist, kommt
also auch der Zahl [mm] $\overline{i}\ [/mm] :=\ -i$ zu !
Das ist so, als wären da zwei absolut ununterscheidbare
Zwillingsschwestern. Niemand kann die beiden wirklich
aufgrund ihrer Eigenschaften und ihres Verhaltens
voneinander unterscheiden. Nur hat man die eine bei
ihrer Geburt Irene genannt und die andere Isabelle.
Wer aber nicht genau verfolgt hat, wer nun Irene und wer
Isabelle ist, hat keine Möglichkeit, die beiden auseinander
zu halten. Der einzige Unterschied zwischen Irene und
Isabelle ist der, dass sie voneinander verschieden
sind - jedoch unterscheiden sie sich eben in keiner einzigen
bestimmten Eigenschaft ...
Was meint ihr zu dieser Betrachtung, die, wie ich meine, an
gewisse Eigenschaften von Elementarteilchen erinnert ?
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Do 27.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
das ist eine interessante Idee. Sie scheint auch recht haltbar zu sein, außer dass in der Eulerschen Identität der Kreis rechtsdrehend durchlaufen wird, was aber ansonsten nichts ändert. Ach ja, und selbst das hinge ja noch davon ab, welche Zwillingsschwester aufrecht steht...
Vielleicht nennen wir das Paar dann Itron und Antitron?
Das gefällt mir besser als Isabelle und Irene. 
Ich stelle Deinen Beitrag mal auf "Frage" um, aber nur auf teilweise beantwortet. Dann finden auch andere sie leichter.
Grüße
reverend
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> Hallo Al,
>
> das ist eine interessante Idee. Sie scheint auch recht
> haltbar zu sein, außer dass in der Eulerschen Identität
> der Kreis rechtsdrehend durchlaufen wird, was aber
> ansonsten nichts ändert. Ach ja, und selbst das hinge ja
> noch davon ab, welche Zwillingsschwester aufrecht steht...
Naja, probier mal den Begriff "rechtsdrehend" oder einfach
"rechts" ohne zirkelhafte Definition zu erklären ...
Und woher wissen wir eigentlich, dass wir "Poden" und die
Neuseeländer "Antipoden" sind - und nicht gerade umgekehrt ...
> Vielleicht nennen wir das Paar dann Itron und Antitron?
> Das gefällt mir besser als Isabelle und Irene.
> Ich stelle Deinen Beitrag mal auf "Frage" um, aber nur auf
> teilweise beantwortet. Dann finden auch andere sie
> leichter.
Danke; gute Idee
> Grüße
> reverend
LG  Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:12 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Theoretix |
Sehr interessante Idee!
Gilt die eulersche Idendität denn genauso für [mm]\overline i[/mm]? Denn die Eigenschaften von [mm] i^2=-1 \Rightarrow i=\wurzel{-1} [/mm] sind wohl identisch, doch [mm]\overline i[/mm] hat doch den negativen Imaginärteil von i?
Vllt erübrigt sich die Frage auch, wäre nur interessant zu wissen.
Gruß
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> Sehr interessante Idee!
> Gilt die eulersche Idendität denn genauso für [mm]\overline i[/mm]?
> Denn die Eigenschaften von [mm]i^2=-1 \Rightarrow i=\wurzel{-1}[/mm]
> sind wohl identisch, doch [mm]\overline i[/mm] hat doch den
> negativen Imaginärteil von i?
> Vllt erübrigt sich die Frage auch, wäre nur interessant
> zu wissen.
>
> Gruß
Klar bleibt diese "Eulersche Identität" erhalten, wenn man
nur den Argument-Winkel [mm] \phi [/mm] ganz analog wie üblicherweise
definiert:
arg(reelle Eins) = 0 und arg(imaginäre Einheit) = [mm] \frac{\pi}{2}
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:43 Mo 31.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Sehr interessante Idee!
> > Gilt die eulersche Idendität denn genauso für
> [mm]\overline i[/mm]?
> > Denn die Eigenschaften von [mm]i^2=-1 \Rightarrow i=\wurzel{-1}[/mm]
> > sind wohl identisch, doch [mm]\overline i[/mm] hat doch den
> > negativen Imaginärteil von i?
die eulersche Identitaet ist doch [mm] $e^{i \pi} [/mm] + 1 = 0$. Wenn du hierdrauf den Automorphismus [mm] $\sigma [/mm] : [mm] \IC \to \IC$, [/mm] $z [mm] \mapsto \overline{z}$ [/mm] (dessen Fixkoerper [mm] $\IR$ [/mm] ist) anwendest, der $i$ mit $-i$ vertauscht, siehst du, dass du als Ergebnis bekommst [mm] $e^{(-i) \pi} [/mm] + 1$ (da [mm] $\exp(z)$ [/mm] eine Potenzreihe mit reellen Koeffizienten ist und [mm] $\sigma$ [/mm] gleichzeitig ein Homeomorphismus ist, gilt [mm] $\sigma(\exp(z)) [/mm] = [mm] \exp(\sigma(z))$).
[/mm]
Aehnliches gilt fuer alle anderen solchen Identitaeten: ist $f$ irgendeine konvergente Potenzreihe mit Koeffizienten in [mm] $\IR$ [/mm] und Entwicklungspunkt in [mm] $\IR$ [/mm] und mit $f(i) = 0$, so gilt auch $f(-i) = 0$. Wenn man also von [mm] $\IR$ [/mm] aus schaut, kann man $i$ und $-i$ wirklich nicht unterscheiden.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 29.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:09 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Bei der Einführung der komplexen Zahlen wird die Zahl $ \ i $
> oft etwa als "Quadratwurzel aus -1" eingeführt.
Ich glaube, dass das so nicht passiert, genau so wenig, wie die Zahl $ \ u $ als "Kehrwert von Null" eingeführt werden kann.
Man geht doch vielmehr konstruktiv vor : Es wird gezeigt, dass z.B. [mm] (\IR^2, \oplus, \odot) [/mm] mit geeignet definierter Addition und Multiplikation ein Körper ist, in den [mm] (\IR, [/mm] +, $ * $) isomorph eingebettet werden kann.
Anschließend wird das Zahlenpaar (0|1) mit i bezeichnet und die Schreibweise noch ein bisschen abgeändert. Natürlich hätte man genau so gut (0|-1) mit i bezeichnen können, ohne an Rechenregeln oder an Eigenschaften irgend etwas zu verändern. Von ihrer Entstehungsgeschichte her sind (0|1) und (0|-1) aber sehr wohl zu unterscheiden.
Gruß Sax.
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> Hi,
>
> > Bei der Einführung der komplexen Zahlen wird die Zahl [mm]\ i[/mm]
>
> > oft etwa als "Quadratwurzel aus -1" eingeführt.
>
> Ich glaube, dass das so nicht passiert, genau so wenig, wie
> die Zahl [mm]\ u[/mm] als "Kehrwert von Null" eingeführt werden
> kann.
> Man geht doch vielmehr konstruktiv vor : Es wird gezeigt,
> dass z.B. [mm](\IR^2, \oplus, \odot)[/mm] mit geeignet definierter
> Addition und Multiplikation ein Körper ist, in den [mm](\IR,[/mm]
> +, [mm]* [/mm]) isomorph eingebettet werden kann.
> Anschließend wird das Zahlenpaar (0|1) mit i bezeichnet
> und die Schreibweise noch ein bisschen abgeändert.
> Natürlich hätte man genau so gut (0|-1) mit i bezeichnen
> können, ohne an Rechenregeln oder an Eigenschaften irgend
> etwas zu verändern. Von ihrer Entstehungsgeschichte her
> sind (0|1) und (0|-1) aber sehr wohl zu unterscheiden.
>
> Gruß Sax.
Hallo Sax,
dafür, wie "man" bei der Einführung des Konzepts der komplexen
Zahlen vorgehen soll, gibt es (glücklicherweise ?) kein allgemeines
Rezept. Übrigens ist der von mir angedeutete (historisch gesehen
wohl deutlich ältere) Weg mit der Adjunktion von $\ i$ mit [mm] i^2=-1 [/mm] zu
[mm] \IR [/mm] doch sehr wohl konstruktiv. Hätte diese Idee nicht vorgelegen,
wäre wohl nur schwerlich jemand auf die Idee gekommen, das
Paar [mm] (\oplus, \odot) [/mm] in [mm] \IR^2 [/mm] so zu erfinden, wie "man" es eben macht ...
Bei meiner Betrachtung ist mir vor allem wichtig, darauf
hinzuweisen, dass der Körper [mm] $(\,\IC\,,\,+\,,\, *\,)$ [/mm] eine innere Spiegelungs-
Isomorphie hat, die darin besteht, jede Zahl z durch ihre
konjugierte Zahl [mm] \overline{z} [/mm] zu ersetzen.
Im Gegensatz dazu gibt es in [mm] \IR [/mm] keine solche Isomorphie.
Die Zahl 1 und ihre Gegenzahl -1 unterscheiden sich bezüglich
ihrer Eigenschaften in [mm] $(\,\IR\,,\,+\,,\, *\,)$ [/mm] wesentlich.
Die 1 spielt wirklich eine Sonderrolle, welche nur ihr
zukommt. Man kann sie nicht einfach durch -1 ersetzen, ohne
die multiplikative Struktur zu zerstören.
In der Gaußschen Ebene ist also gewissermaßen die reelle
Achse eine Art "strukturelle Symmetrieachse", die imaginäre
Achse aber nicht. Sehr schön sieht man dies natürlich auch am
berühmten "Apfelmännchen", das (leider ?) in den meisten
![[]](/images/popup.gif) Abbildungen quer liegen muss statt aufrecht stehen darf ...
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:55 Mo 31.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin zusammen,
> > > Bei der Einführung der komplexen Zahlen wird die Zahl [mm]\ i[/mm]
> > > oft etwa als "Quadratwurzel aus -1" eingeführt.
> >
> > Ich glaube, dass das so nicht passiert, genau so wenig, wie
> > die Zahl [mm]\ u[/mm] als "Kehrwert von Null" eingeführt werden
> > kann.
> >
> > Man geht doch vielmehr konstruktiv vor : Es wird gezeigt,
> > dass z.B. [mm](\IR^2, \oplus, \odot)[/mm] mit geeignet definierter
> > Addition und Multiplikation ein Körper ist, in den [mm](\IR,[/mm]
> > +, [mm]* [/mm]) isomorph eingebettet werden kann.
> > Anschließend wird das Zahlenpaar (0|1) mit i bezeichnet
> > und die Schreibweise noch ein bisschen abgeändert.
> > Natürlich hätte man genau so gut (0|-1) mit i bezeichnen
> > können, ohne an Rechenregeln oder an Eigenschaften irgend
> > etwas zu verändern. Von ihrer Entstehungsgeschichte her
> > sind (0|1) und (0|-1) aber sehr wohl zu unterscheiden.
Ja, aber das ist gerade das, was Al in seiner Geschichte beschrieb: man hat halt aufgepasst, wer jetzt Irene und wer Isabelle ist. Haette man nicht aufgepasst, wuerde es keinen Grund geben, nicht $(0, -1)$ anstelle $(0, 1)$ als $i$ zu definieren.
Das ist so wie bei Zerfaellungskoerpern bzw. bei dem Kronecker-Verfahren: hat man einen Koerper $K$ und ein irreduzibles Polynom $f [mm] \in [/mm] K[x]$, so konstruiert man ja einen Koerper, in dem $f$ eine Nullstelle hat, indem man $L := K[x]/(f)$ setzt und [mm] $\alpha$ [/mm] als die Restklasse von $x$ in $L$ nimmt. Damit hat man jetzt eine sehr willkuerliche Wahl getroffen, "welche" der [mm] $\deg [/mm] f$ Nullstellen von $f$ denn jetzt [mm] $\alpha$ [/mm] sein soll. (Die Galois-Theorie sagt: es ist egal, es macht keinen Unterschied, da die Galoisgruppe transitiv auf den Nullstellen agiert -- man kann durch die Wahl eines passenden Automorphismus jede gewuenschte Nullstelle auf [mm] $\alpha$ [/mm] abbilden.)
> dafür, wie "man" bei der Einführung des Konzepts der
> komplexen
> Zahlen vorgehen soll, gibt es (glücklicherweise ?) kein
> allgemeines
> Rezept.
Man kann auch einfach [mm] $\IC$ [/mm] als Zerfaellungskoerper von [mm] $x^2 [/mm] + 1$ ueber [mm] $\IR$ [/mm] definieren. Und $i$ als eine Nullstelle nehmen, etwa als die Restklasse von $x$ in [mm] $\IR[x]/(x^2 [/mm] + 1)$.
> Übrigens ist der von mir angedeutete (historisch
> gesehen wohl deutlich ältere) Weg mit der Adjunktion von [mm]\ i[/mm] mit
> [mm]i^2=-1[/mm] zu [mm]\IR[/mm] doch sehr wohl konstruktiv. Hätte diese Idee nicht
> vorgelegen, wäre wohl nur schwerlich jemand auf die Idee gekommen,
> das Paar [mm](\oplus, \odot)[/mm] in [mm]\IR^2[/mm] so zu erfinden, wie "man"
> es eben macht ...
Ja, diese Identifikation von [mm] $\IC$ [/mm] mit [mm] $\IR^2$ [/mm] (Gausssche Zahlenebene) wurde offenbar erst nach 1745 eingefuehrt, waehrend man sich mit Wurzeln von negativen Zahlen schon vorher auseinandergesetzt hat.
> Bei meiner Betrachtung ist mir vor allem wichtig, darauf
> hinzuweisen, dass der Körper [mm](\,\IC\,,\,+\,,\, *\,)[/mm] eine
> innere Spiegelungs-
> Isomorphie hat, die darin besteht, jede Zahl z durch ihre
> konjugierte Zahl [mm]\overline{z}[/mm] zu ersetzen.
Sprich: das nicht-triviale Element der Galoisgruppe
> Im Gegensatz dazu gibt es in [mm]\IR[/mm] keine solche Isomorphie.
Exakt. Die reellen Zahlen sind in der Hinsicht sehr starr (im Gegensatz zu seinen Unterkoerpern).
> Die Zahl 1 und ihre Gegenzahl -1 unterscheiden sich
> bezüglich
> ihrer Eigenschaften in [mm](\,\IR\,,\,+\,,\, *\,)[/mm]
> wesentlich.
> Die 1 spielt wirklich eine Sonderrolle, welche nur ihr
> zukommt. Man kann sie nicht einfach durch -1 ersetzen,
> ohne
> die multiplikative Struktur zu zerstören.
Ich wuerde es nicht zerstoeren nennen; man erhaelt dann einen zu [mm] $\IR$ [/mm] isomorphen Koerper mit den gleichen Elementen und der gleichen Addition, der jedoch eine andere Multiplikation hat (naemlich $x [mm] \otimes [/mm] y := -x [mm] \cdot [/mm] y$).
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Mo 31.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> beim Lesen von weightgainers Antwort bin ich auf
> folgendes Gedankenspiel gekommen:
> [...]
> Das ist so, als wären da zwei absolut ununterscheidbare
> Zwillingsschwestern. Niemand kann die beiden wirklich
> aufgrund ihrer Eigenschaften und ihres Verhaltens
> voneinander unterscheiden. Nur hat man die eine bei
> ihrer Geburt Irene genannt und die andere Isabelle.
> Wer aber nicht genau verfolgt hat, wer nun Irene und wer
> Isabelle ist, hat keine Möglichkeit, die beiden
> auseinander
> zu halten. Der einzige Unterschied zwischen Irene und
> Isabelle ist der, dass sie voneinander verschieden
> sind - jedoch unterscheiden sie sich eben in keiner
> einzigen
> bestimmten Eigenschaft ...
Genauso ist es.
Das erinnert mich stark an einen Artikel, den ich vor langer Zeit mal gelesen habe.
LG Felix
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> Moin,
>
> > beim Lesen von weightgainers Antwort bin ich auf
> > folgendes Gedankenspiel gekommen:
> > [...]
> > Das ist so, als wären da zwei absolut ununterscheidbare
> > Zwillingsschwestern. Niemand kann die beiden wirklich
> > aufgrund ihrer Eigenschaften und ihres Verhaltens
> > voneinander unterscheiden. Nur hat man die eine bei
> > ihrer Geburt Irene genannt und die andere Isabelle.
> > Wer aber nicht genau verfolgt hat, wer nun Irene und
> > wer Isabelle ist, hat keine Möglichkeit, die beiden
> > auseinander
> > zu halten. Der einzige Unterschied zwischen Irene und
> > Isabelle ist der, dass sie voneinander verschieden
> > sind - jedoch unterscheiden sie sich eben in keiner
> > einzigen
> > bestimmten Eigenschaft ...
>
> Genauso ist es.
>
> Das erinnert mich stark an einen
> Artikel,
> den ich vor langer Zeit mal gelesen habe.
>
> LG Felix
Hallo Felix,
danke für diesen und die anderen Links !
Gruß, Al
Zitat:
Try to solve [mm] x^2 [/mm] + 1 = 0.
You find that there are two roots, i and -i.
But what is i, and what is -i ?
You can't tell the difference.
*That* is Galois theory.
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