matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-InduktionFrage zur Induktion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Frage zur Induktion
Frage zur Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Frage zur Induktion: Annahme beweisen?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Di 03.11.2015
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Zu zeigen [mm] 2^{n} [/mm] > [mm] n^{²} [/mm] , für alle n [mm] \ge [/mm] 5 , n [mm] \in \IN [/mm] ,

Hallo,
die Aufgabe ist nichts besonderes, trotzdem habe ich eine Frage zu dem Beweis, er sieht folgendermaßen aus.

IA: n = 5 , 32 > 25, klar

IV : [mm] 2^{n} [/mm] > [mm] n^{²} [/mm]

IS : n -> n+1

[mm] 2^{n+1} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] = 2 * [mm] 2^{n} [/mm] > [mm] 2*n^{2} [/mm] = [mm] n^{2} [/mm] + [mm] n^{2} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] + 3n > [mm] n^{2} [/mm] + 2n + 1 = [mm] (n+1)^{2} [/mm]

So, meine Frage ist nun an der folgenden Stelle :
Ich nehme an, dass [mm] n^{2} [/mm] + [mm] n^{2} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] + 3n
Das ist für mich logisch, und auch offensichtlich, weil die zwei Summanden vom Grad 2 und die Summanden auf der rechten Seite der Ungleichung vom Grad 2 und vom Grad 1 sind. Die rechte Seite kann also nur echt kleiner sein.
Jetzt die Frage, muss ich das auch noch extra irgendwie beweisen oder begründen, oder ist der Beweis so korrekt?

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Frage zur Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 Di 03.11.2015
Autor: ms2008de

Hallo,
> Zu zeigen [mm]2^{n}[/mm] > [mm]n^{²}[/mm] , für alle n [mm]\ge[/mm] 5 , n [mm]\in \IN[/mm] ,
>  Hallo,
>  die Aufgabe ist nichts besonderes, trotzdem habe ich eine
> Frage zu dem Beweis, er sieht folgendermaßen aus.
>  
> IA: n = 5 , 32 > 25, klar
>  
> IV : [mm]2^{n}[/mm] > [mm]n^{²}[/mm]
>  

soll gelten für ein n [mm] \ge [/mm] 5

> IS : n -> n+1
>  
> [mm]2^{n+1}[/mm] > [mm]n^{2}[/mm] = 2 * [mm]2^{n}[/mm] > [mm]2*n^{2}[/mm] = [mm]n^{2}[/mm] + [mm]n^{2}[/mm] >
> [mm]n^{2}[/mm] + 3n > [mm]n^{2}[/mm] + 2n + 1 = [mm](n+1)^{2}[/mm]
>  

Das ist ziemlich wild durcheinander bei dir, also jetzt mal sauber strukturiert:
[mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2*2^{n} [/mm] > [mm] 2*n^{2} [/mm] = [mm] n^{2}+n^{2} [/mm]

> So, meine Frage ist nun an der folgenden Stelle :
>  Ich nehme an, dass [mm]n^{2}[/mm] + [mm]n^{2}[/mm] > [mm]n^{2}[/mm] + 3n

> Das ist für mich logisch, und auch offensichtlich, weil
> die zwei Summanden vom Grad 2 und die Summanden auf der
> rechten Seite der Ungleichung vom Grad 2 und vom Grad 1
> sind. Die rechte Seite kann also nur echt kleiner sein.
> Jetzt die Frage, muss ich das auch noch extra irgendwie
> beweisen oder begründen, oder ist der Beweis so korrekt?

Für n=2 oder  n=1 würde deine Behauptung so aber schiefgehen, du musst also auf jeden Fall auch argumentieren, dass n  [mm] \ge [/mm] 5 ist als Begründung...
Von daher kannst du weitermachen mit [mm] n^{2}+n^{2} \ge n^{2}+5n [/mm]  = [mm] n^{2}+ [/mm] 2n + 3n [mm] \ge n^{2}+ [/mm] 2n + 15 >  [mm] n^{2}+ [/mm] 2n + 1 = [mm] (n+1)^{2} \Box [/mm]

Viele Grüße

Bezug
                
Bezug
Frage zur Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:30 Di 03.11.2015
Autor: pc_doctor

Hallo,
ja klar, dieses n [mm] \ge [/mm] 5 steht ja schon in der Voraussetzung. Ich nehme es "mit". Ich habe halt nur nicht die Notwendigkeit gesehen, dieses n [mm] \ge [/mm] 5 aufzuschreiben. Aber danke für die Antwort, hat sich jetzt geklärt.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]