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Hallo,
es soll gezeigt werden, ob folgende Reihe konvergiert.
[mm] (\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}}
[/mm]
Ich würde jetzt einfach sagen, dass [mm] (\bruch{n-3}{n+8})^{n} [/mm] konvergiert und demzufolge konvergiert auch [mm] (\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}} [/mm] nach dem Mino- und Majorantenkriterium.
Ist das so richtig?
LG DerPinguinagent
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> Hallo,
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> es soll gezeigt werden, ob folgende Reihe konvergiert.
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> [mm](\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}}[/mm]
Moin,
ich sehe hier gar keine Reihe, sondern eine Folge.
Die Folge konvergiert gegen 0.
Wahrscheinlich möchtest Du über [mm] \sum_{n=1}^{\infty}(\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}} [/mm] sprechen.
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> Ich würde jetzt einfach sagen, dass [mm](\bruch{n-3}{n+8})^{n}[/mm]
> konvergiert und demzufolge konvergiert auch
> [mm](\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}}[/mm] nach dem Mino- und
> Majorantenkriterium.
>
> Ist das so richtig?
Naja...
Konvergieren tut sie.
Die Konvergenz der Reihe [mm] \sum (\bruch{n-3}{n+8})^{n} [/mm] wäre zu begründen.
Mit "Mino- und Majo" kann ich nichts anfangen: mit dem einen zeigt man Divergenz, mit dem anderen Konvergenz. Da müßtest Du Dich entscheiden - und als nächstes ausführen, wie Du das Kriterium verwendest, wie Du also minorisierst oder majorisierst.
So, wie es jetzt dasteht, ist es Gelaber.
LG Angela
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> LG DerPinguinagent
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Mo 17.07.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> es soll gezeigt werden, ob folgende Reihe konvergiert.
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> [mm](\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}}[/mm]
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> Ich würde jetzt einfach sagen, dass [mm](\bruch{n-3}{n+8})^{n}[/mm]
> konvergiert und demzufolge konvergiert auch
> [mm](\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}}[/mm] nach dem Mino- und
> Majorantenkriterium.
Uii ! Da geht einiges durcheinander ! Wie Angela schon bemerkte, geht es um die Reihe
$ [mm] \sum_{n=1}^{\infty}(\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}} [/mm] $.
Setzen wir [mm] a_n:=(\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}} [/mm] und wenden das Wurzelkriterium an: für n [mm] \ge [/mm] 3 ist
[mm] $(a_n)^{1/n}= (\bruch{n-3}{n+8})^n$
[/mm]
Zeige nun Du, dass [mm] \lim_{n \to \infty}(a_n)^{1/n} [/mm] existiert und kleiner 1 ist.
Damit ist $ [mm] \sum_{n=1}^{\infty}(\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}} [/mm] $ konvergent.
Nebenbei: die Reihe $ [mm] \sum_{n=1}^{\infty}(\bruch{n-3}{n+8})^{n} [/mm] $ ist divergent.
Kannst Du das begründen ? (ohne Mino, Majo und Ketchup !)
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> Ist das so richtig?
>
> LG DerPinguinagent
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Do 20.07.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Pinguinagent,
helfen dir die Tipps von Angela und Fred weiter?
Es gilt [mm] (\frac{n-3}{n+8})^{n} [/mm] geeignet abzuschätzen mit einem Ausdruck, von dem du den Grenzwert kennst.
(Kleiner Tipp: Der Weg führt über die Abschätzung mit [mm] (\frac{n}{n+1})^{n}, [/mm] kommt dir dieser Ausdruck bekannt vor? Er ist ähnelt einem typischen Grenzwert, nur minimal verändert.
Viele Grüße,
X3nion
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Komme mit der Aufgabe nicht wirklich klar.
Könnt ihr mir da helfen?
LG DerPinguinagent
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Hallo,
> Komme mit der Aufgabe nicht wirklich klar.
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> Könnt ihr mir da helfen?
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> LG DerPinguinagent
das ist eine unzulängliche Problembeschreibung angesichts der ganzen Hinweise, die bereits gegeben wurden.
Es ist auf der einen Seite
[mm] \frac{n-3}{n+8}=1-\frac{11}{n+8}[/mm]
und andererseits
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \left ( 1- \frac{x}{n} \right )^n=e^{-x}[/mm]
Mit diesen beiden Hinweisen solltest du die Tipps von FRED und X3enion umsetzen können. Sonst bitte konkret und präzise nachfragen, was unklar ist.
Gruß, Diophant
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