Frage zur Lösungsmenge der Wur < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Do 24.11.2005 | | Autor: | Beliar |
Hallo,
habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
[mm] \wurzel{x^2+1} [/mm] = x-1
habe mit 2 potenziert
und bekam x =0 ,
aber L = [mm] \{ \}
[/mm]
warum kann x=0 kein Lösungwert sein
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Hallo!
Setz doch $x=0$ in deine Gleichung mal ein! Dann erhältst du [mm] $1=\sqrt{x^2+1}=x-1=-1$. [/mm] Das stimmt aber nicht!
Wo aber passiert der Fehler? Wenn du auf beiden Seiten quadrierst, dann stimmt die Gleichung wieder: [mm] $1=x^2+1=(x-1)^2=1$. [/mm]
Du erhältst also durch das Quadrieren deiner Gleichung evtl. Lösungen, die die ursprüngliche Gleichung nicht lösen.
Gruß, banachella
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Hallo Beliar!
Ergänzend zu banachella's Antwort ...
Da das Quadrieren einer Gleichung keine Äquivalenzumformung darstellt, ist es unumgänglich, dass man für solche Gleichungen immer die Probe (mit der Ausgangsgleichung!) für die vermeintlichen Lösungen durchführen muss.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Fr 25.11.2005 | | Autor: | Beliar |
Und warum ist das so?
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Guten Morgen Beliar!
Da durch das Quadrieren (auch aus negativen Ausdrücken) auf jeden Fall ein positiver Ausdruck entsteht, können hier auch zusätzliche vermeintliche Lösungen erzeugt werden.
Dies ist aber nicht immer sofort ersichtlich. Daher ist die Probe unumgänglich.
Beispiel:
[mm] $\wurzel{x-1} [/mm] \ = \ -1$
$x-1 \ = \ [mm] (-1)^2 [/mm] \ = \ 1$
$x \ = \ 2$
Beim genauer Hinsehen fällt aber auf, dass hier eine Wurzel einen negativen Wert annehmen soll, was sie gar nicht kann.
Nun etwas klarer?
Gruß vom
Roadrunner
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