Frage zur Teleskopsumme < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 So 26.09.2010 | | Autor: | Sin777 |
Hallo, meine Frage ist folgende: Ist die Teleskopsumme auch anwendbar, wenn die Nachbarglieder einen größeren abstand als 1 voneinader haben? Und wenn ja: Wie kann man das dann übertragen?
Ein Beispiel wäre:
[mm] \summe_{i=m}^{n}((1/(k+3))-(1/(k+1))
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank im Voraus
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Huhu,
schreibe dir die "Teleskopsumme" doch mal sauber auf, inkl. Indexverschiebung der Summe etc.
Dann wirst du ja sehen, was übrigbleibt.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 So 26.09.2010 | | Autor: | Sin777 |
Dann ist es nicht möglich, die lösung direkt abzulesen. schade ^^
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Ist es wohl....... du sollst es nur einmal machen, um ein Händchen dafür zu bekommen.
Denn wenn du das Prinzip der Teleskopsumme verstanden hättest, könntest du es ja auch hier anwenden, da du das aber anscheinend nicht kannst, hast du anscheinend auch nicht verstanden, was hinter diesem Prinzip eigentlich steckt (nämlich auseinanderziehen, Indexverschiebung etc)
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 So 26.09.2010 | | Autor: | Sin777 |
könntest du es mir denn anhand dieses einfachen beispiels erklären?
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Huhu,
nehmen wir mal eine andere Teleskopsumme, wir wollen es ja nicht zu einfach machen:
Bekannt sein dürfte dir ja, dass gilt:
[mm] $\summe_{k=m}^{n} \bruch{1}{k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{m} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1}$
[/mm]
Nun mach doch mal das, worauf ich schon hingewiesen hab:
Die Summe auseinanderziehen, so dass du 2 Summenzeichen erhälst.
Dann wirst du feststellen, dass du eine Summe mit [mm] \bruch{1}{k} [/mm] und eine mit [mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] erhälst und nicht direkt vergleichen kannst.
Die Lösung heisst: Indexverschiebung.
Mach das dochmal und zeig, wie weit du selbst vorankommst.
Der Vorteil bei dieser Teleskopsumme ist ja nun, dass du das Ergebnis bereits kennst und so leicht feststellen kannst, ob du alles richtig gemacht hast.
MFG;
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 So 26.09.2010 | | Autor: | Sin777 |
müsste es nicht (1/m) - 1/(n+1) heißen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 So 26.09.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
jop, gut aufgepasst 
Ich änder das gleich mal.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 So 26.09.2010 | | Autor: | Sin777 |
[mm] \summe_{k=m}^{n}(\bruch{1}{k+3}-\bruch{1}{k+1})
[/mm]
= [mm] \summe_{k=m}^{n}(\bruch{1}{k+3})-\summe_{k=m}^{n}(\bruch{1}{k+1}) [/mm] = [mm] \summe_{k=m}^{n}(\bruch{1}{k+3})-\summe_{k=m}^{n}(\bruch{1}{k+2})-(\bruch{1}{n+2})+(\bruch{1}{m+2}) [/mm] = [mm] (\bruch{1}{n+3})-(\bruch{1}{m+2})-(\bruch{1}{n+2})+(\bruch{1}{m+2}) [/mm] = [mm] (\bruch{1}{n+3})-(\bruch{1}{n+2})
[/mm]
Geht man so jedesmal vor bzw. stimmt das überhaupt? Danke! ^^
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Huhu,
was immer du gemacht hast, es ist nicht richtig und vorallem keine Indexverschiebung!
Eine Indexverschiebung heisst: Die Laufvariable abzuändern und dafür den Summationsindex anzupassen!
Am Beispiel:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}(k+2)$
[/mm]
Dafür hast du erstmal keine Lösungsformel, du hast aber eine Lösungsformel für
[mm] $\summe_{k=1}^{n} [/mm] k = [mm] \bruch{n(n+1)}{2}$
[/mm]
Was macht man also: Indexverschiebung! Schauen wir uns dafür mal die Summe an.
[mm] $\summe_{k=1}^{n}(k+2)$
[/mm]
Uns stört ja, dass da (k+2) anstatt k steht, also wollen wir die Laufvariable um 2 verringern.
Als Ausgleich müssen wir dafür den Summationsindex um 2 erhöhen!
d.h. es gilt.
[mm] $\summe_{k=1}^{n}(k+2) [/mm] = [mm] \summe_{k=1+2}^{n+2}([k-2]+2) [/mm] = [mm] \summe_{k=3}^{n+2} [/mm] k$
und schon haben wir eine Summe, die wir (mit ein wenig Addition/Subtraktion) mit obiger Lösungsformel lösen können!
Und das gleiche sollst du nun mit deiner zweiten Summe machen.
MFG,
Gono.
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