Fragen zu einem Beweis, Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Adeptus |
| Aufgabe | | Satz 1. Eine Halbgruppe (A,o) ist genau dann eine Gruppe, wenn es zu jedem x [mm] \in [/mm] A und zu jedem y [mm] \in [/mm] A Elemente z, z2 [mm] \in [/mm] A gibt mit x o z = y und z2 o x = y. Beweise! |
Hallo,
ich kann den Beweis leider noch nicht ganz nachvollziehen und habe einige Fragen dazu. Hier der Anfang des Beweises:
Sei zunächst (A,o) eine Gruppe. Setzen wir z := x^(-1) o y, so gilt x o z = x o (x^(-1) o y) = (x o x^(-1)) o y = e o y = y. Entsprechend ist z2 := y o x^(-1) eine Lösung der Gleichung z2 o x = y.
Ist (A,o) eine Halbgruppe, so folgern wir umgekehrt zunächst aus der Lösbarkeit der obigen Gleichungen die Existenz eines Neutralelementes in (A,o): Wegen A != (Leere Menge) gibt es ein x0 [mm] \in [/mm] A. Nach Voraussetzung Elemente z,z2 [mm] \in [/mm] A mit x0 o z = x und z2 o x0 = x. (Beweis geht noch weiter....)
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Nun meine Fragen:
Er setzt ja zunächst voraus, dass (A,o) eine Gruppe ist und zeigt dann, dass wenn man z als x^(-1) o y definiert, man die Gleichung x o z = y lösen kann. Damit hat er bewiesen, dass x o z = y also eine für Gruppen gültige Gleichung ist. Er durfte z wahrscheinlich als x^(-1) o y definieren, weil ja in einer Gruppe ein Inverses existiert und daher auch (x^(-1) o y) ein Element der Gruppe ist, richtig? Soweit ok.
Aber den nächsten Schritt versteh ich nicht.
Da nimmt er wieder an, dass (A,o) eine Halbgruppe ist und folgert dann aus dem obigen Teil des Beweises, dass (A,o) (also die Halbgruppe) ein Neutralelement besitzt. Aber er hat doch nur gezeigt, dass (A,o) dann ein Neutralelement besitzt, wenn es eine Gruppe ist? Wie kann er dann daraus schließen, dass da auch dann für (A,o) gilt, wenn es nur eine Halbgruppe ist?
Hoffentlich versteht ihr meine Frage. :)
Danke im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Satz 1. Eine Halbgruppe (A,o) ist genau dann eine Gruppe,
> wenn es zu jedem x [mm]\in[/mm] A und zu jedem y [mm]\in[/mm] A Elemente z,
> z2 [mm]\in[/mm] A gibt mit x o z = y und z2 o x = y. Beweise!
> Hallo,
>
> ich kann den Beweis leider noch nicht ganz nachvollziehen
> und habe einige Fragen dazu. Hier der Anfang des Beweises:
>
> Sei zunächst (A,o) eine Gruppe. Setzen wir z := x^(-1) o y,
> so gilt x o z = x o (x^(-1) o y) = (x o x^(-1)) o y = e o y
> = y. Entsprechend ist z2 := y o x^(-1) eine Lösung der
> Gleichung z2 o x = y.
> Ist (A,o) eine Halbgruppe, so folgern wir umgekehrt
> zunächst aus der Lösbarkeit der obigen Gleichungen die
> Existenz eines Neutralelementes in (A,o): Wegen A != (Leere
> Menge) gibt es ein x0 [mm]\in[/mm] A. Nach Voraussetzung Elemente
> z,z2 [mm]\in[/mm] A mit x0 o z = x und z2 o x0 = x. (Beweis geht
> noch weiter....)
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> Nun meine Fragen:
> Er setzt ja zunächst voraus, dass (A,o) eine Gruppe ist
> und zeigt dann, dass wenn man z als x^(-1) o y definiert,
> man die Gleichung x o z = y lösen kann. Damit hat er
> bewiesen, dass x o z = y also eine für Gruppen gültige
> Gleichung ist. Er durfte z wahrscheinlich als x^(-1) o y
> definieren, weil ja in einer Gruppe ein Inverses existiert
> und daher auch (x^(-1) o y) ein Element der Gruppe ist,
> richtig? Soweit ok.
> Aber den nächsten Schritt versteh ich nicht.
> Da nimmt er wieder an, dass (A,o) eine Halbgruppe ist und
> folgert dann aus dem obigen Teil des Beweises, dass (A,o)
> (also die Halbgruppe) ein Neutralelement besitzt. Aber er
> hat doch nur gezeigt, dass (A,o) dann ein Neutralelement
> besitzt, wenn es eine Gruppe ist? Wie kann er dann daraus
> schließen, dass da auch dann für (A,o) gilt, wenn es nur
> eine Halbgruppe ist?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Zum Beweis der Aussage ist zweierlei zu zeigen:
1. [mm] (A,\circ) [/mm] ist eine Gruppe ==> zu jedem x [mm]\in[/mm] A und zu jedem y [mm]\in[/mm] A gibt es Elemente [mm] z_1, z_2[/mm] [mm]\in[/mm] A mit x o [mm] z_1 [/mm] = y und [mm] z_2 [/mm] o x = y.
2. Es sei [mm] (A,\circ) [/mm] eine Halbgruppe, in welcher gilt: zu jedem x [mm]\in[/mm] A und zu jedem y [mm]\in[/mm] A gibt es Elemente [mm] z_1, z_2[/mm] [mm]\in[/mm] A mit x o [mm] z_1 [/mm] = y und [mm] z_2 [/mm] o x = y.
==> [mm] (A,\circ) [/mm] ist eine Gruppe.
Teil 1 ist der, den Du verstanden hast.
In Teil 2 wird zunächst gezeigt, daß die Halbgruppe [mm] (A,\circ) [/mm] mit der obigen Eigenschaft ein neutrales Element hat.
Warum hat sie das? Er entnimmt das nicht dem Beweis zu Teil 1, sondern der Voraussetzung(!!!) für Teil 2).
Nach Voraussetzung erhält man, daß es zu [mm] x_0, [/mm] x [mm] z_1, z_2\in [/mm] A gibt mit [mm] x_0\circ z_1=x [/mm] und [mm] z_2\circ x_0=x.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Di 11.12.2007 | | Autor: | Adeptus |
Hallo Angela,
danke für die sehr hilfreiche Erklärung, leider komme ich erst jetzt zu einem Dankschreiben.
Viele Grüße
Adeptus
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