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Fragen zur Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Fr 01.01.2021
Autor: ireallydunnoanything

Hallo !

Ich höre dieses Semester Algebra (Bachelor) und hätte einige grundlegende Fragen.

1. Was versteht man unter der Konjugation und unter Konjugationsklassen ?
2. Was hat es mit Automorphismen und Automorphismengruppen auf sich ?

Über eine (wenn es geht anschauliche) Erklärung wäre ich sehr dankbar.

Grüße

Alex

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Fragen zur Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:37 Sa 02.01.2021
Autor: Josef


>  
> 1. Was versteht man unter der Konjugation und unter
> Konjugationsklassen ?



Konjunktion

Unter der Aussagenverbindung A [mm] \wedge [/mm] B (lies: A und B) versteht man die zusammengesetzte Aussage, die genau dann wahr ist, wenn A und B zugleich wahr sind. A [mm] \wedge [/mm] B nennt man Konjunktion von A und B.

Beispiel:

A: Das Mädchen ist hübsch;
B: Das Mädchen kann gut Tennis spielen.

Die zusammengesetzte Aussage A [mm] \wedge [/mm] B:

"Das Mädchen ist hübsch und kann gut Tennis spielen!" ist nur dann wahr, wenn beide Teilaussagen zutreffen.





Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Konjugationsklasse

"In der Mathematik , vor allem Gruppentheorie , zwei Elemente ein und b einer Gruppe sind Konjugat , wenn es ein Element ist , g in der Gruppe , so daß b = g -1 ag . Dies ist eine Äquivalenzrelation , deren Äquivalenzklassen werden genannt Konjugiertenklassen .

Mitglieder derselben Konjugationsklasse können nicht nur anhand der Gruppenstruktur unterschieden werden und haben daher viele Eigenschaften gemeinsam. Die Untersuchung von Konjugationsklassen nicht-abelscher Gruppen ist für die Untersuchung ihrer Struktur von grundlegender Bedeutung. Für eine abelsche Gruppe ist jede Konjugationsklasse eine Menge, die ein Element enthält ( Singleton-Menge ). Konjugationsklasse" - https://de.qaz.wiki/wiki/Conjugacy_class



Viele Grüße
Josef

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Fragen zur Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Sa 02.01.2021
Autor: statler

Guten Tag!

> 1. Was versteht man unter der Konjugation und unter
> Konjugationsklassen ?

In diesem Zusammenhang ist die Konjugation eine Abbildung [mm] f_{a} [/mm] von G [mm] \to [/mm] G, die gegeben ist durch x [mm] \mapsto axa^{-1} [/mm] (oder manchmal auch [mm] a^{-1}xa). [/mm] Man kann dann relativ leicht zeigen, daß es ein Isomorphismus ist, der in dieser Situation Automorphismus heißt, weil der Definitionsbereich gleich dem Wertebereich ist. Die Abbildung oder besser G 'geht auf sich selbst'.

2 Elemente [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{2} [/mm] von G heißen konjugiert, wenn es ein a in G gibt mit [mm] f_{a}(g_{1}) [/mm] = [mm] g_{2}. [/mm] Dieses 'konjugiert' ist eine Äquivalenzrelation und liefert eine Partition von G in Äquivalenzklassen, die dann Konjugationsklassen heißen.

>  2. Was hat es mit Automorphismen und Automorphismengruppen
> auf sich ?

Es gibt 2 Sorten von Automorphismen, die inneren - das sind die von Teil 1 - und die äußeren, das sind die anderen. Bei einer abelschen Gruppe gibt es naturgemäß nur die Identität als inneren Automorphismus, das ist nicht so spannend. Die Kleinsche Vierergruppe V4 ist abelsch, hat aber eine ganze Menge Automorphismen. Alle Automorphismen einer Gruppe G bilden selbst eine Gruppe Aut(G) mit den inneren Automorphismen als Untergruppe.

Ich hoffe, ich habe das soweit erstmal geklärt.
Gruß Dieter

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Fragen zur Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:39 Sa 02.01.2021
Autor: ireallydunnoanything

Vielen Dank !

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Fragen zur Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:18 Do 18.02.2021
Autor: ireallydunnoanything

Ich beschäftige mich nach wie vor mit der Vorlesung Algebra im Rahmen meines Bachlorstudiums und habe noch einige Fragen.

1. Könnte mir jemand eine gute Erklärung zu Nebenklassen geben, möglichst anschaulich und leicht verständlich ?

2. Was hat es mit Quotienten- und Faktorgruppen auf sich ? Auch hier wäre ich über eine möglichst anschauliche Erklärung sehr dankbar.

Vielen Dank schonmal im Vorraus.

Grüße

Alex

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Fragen zur Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:57 Do 18.02.2021
Autor: ChopSuey

Quotienten- und Faktorgruppen sind synonym. "Quotientengruppe" ist aber der üblichere Term.

Das einfachste Beispiel einer Quotientengruppe sind die endlichen zyklischen Gruppen [mm] $\IZ/n\IZ$. [/mm] Betrachte

[mm] $$\IZ/3\IZ =\{[0],[1],[2]\}$$ [/mm]
das ist die Menge der Nebenklassen der Untergruppe [mm] $3\IZ$. [/mm]

Die Quotientengruppe [mm] $\IZ/3\IZ$ [/mm] geht aus der Äquivalenzrelation $ a [mm] \sim [/mm] b [mm] :\gdw [/mm] b-a [mm] \in 3\IZ$ [/mm] hervor. Das heißt, wir partitionieren die Menge [mm] $\IZ$ [/mm] und erklären Elemente als äquivalent (d.h. wir schmeißen ebendiese Elemente in dieselbe Nebenklasse) unter der Relation [mm] $\sim$, [/mm] d.h. wir "gehen durch alle natürlichen Zahlen und zwei beliebige Zahlen, deren Differenz enthalten ist in der Menge [mm] $3\IZ =\{...,-6,-3,0,3,6,...\}$ [/mm] werden fortan als Äquivalent erklärt und in einer gemeinsamen Klasse zusammengefasst".

Nimm dir zwei beliebige Elemente aus [mm] $\IZ$, [/mm] z.B. $5$ und $9$.

Es ist $9-5 = 4 [mm] \not\in 3\IZ =\{...,-6,-3,0,3,6,...\}$, [/mm] also liegen $4$ und $9$ nicht in derselben Nebenklasse von [mm] $3\IZ$. [/mm]  Allerdings ist $9-6 = 3 [mm] \in 3\IZ$, [/mm] also liegen $9$ und $6$ in derselben Klasse und repräsentieren dieselbe Klasse, nämlich $[0]$.

$[0] = [mm] 3\IZ =\{...,-6,-3,0,3,6,...\}$ ($3\IZ$ [/mm] ist das neutrale Element in der Quotientengruppe [mm] $\IZ\3\IZ$. [/mm]

$[1] = [mm] 3\IZ+1 [/mm] = [mm] \{...,-2,1,4,7,...\}$ [/mm] (die Differenz zweier Elemente in dieser Klasse liefert stets ein Vielfaches von $3$)

$[2] = [mm] 3\IZ+2 [/mm] = [mm] \{...,-1,2,5,8,...\}$ [/mm] (die Differenz zweier Elemente in dieser Klasse liefert stets ein Vielfaches von $3$)

Etwas umgangssprachlicher und weniger technisch:

Was tatsächlich geschieht ist, dass alle Elemente, deren Differenz ein vielfaches von $3$ ist, zu "einem" Element zusammengeschlagen werden. Was dann passiert ist, dass [mm] $3\IZ$ [/mm] zum neutralen Element in [mm] $\IZ/3\IZ$ [/mm] wird, d.h. alle Elemente in [mm] $3\IZ$ [/mm] verschmelzen zu einem Element, nämlich $[0] = [mm] 3\IZ$ [/mm] und werden, wie gesagt, zum neutralen Element.

Nachdem wir aber alle Elemente aus [mm] $3\IZ$ [/mm] in eine Klasse schmeißen und diese Klasse zum neutralen Element erklären, bleiben noch ziemlich viele Elemente aus [mm] $\IZ$ [/mm] übrig, die irgendwie ebenfalls in Klassen gesteckt werden wollen, und diese übrigen Elemente bilden die sog. Nebenklassen. Das sind die Klassen, die durch die Äquivalenzrelation [mm] $\sim$ [/mm] entstehen und "neben" dem neutralen Element $[0] = [mm] 3\IZ$ [/mm] liegen.

Was heißt es, dass $ [0] = [mm] 3\IZ [/mm] $ das neutrale Element (bzgl "$+$") bildet? Nun, ganz offensichtlich gilt (das ist hoffentlich bekannt), dass

$[0]+[1] = [1]$

usw.

Und das gilt nicht nur in einfachen Fällen wie [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] sondern ganz allgemein für alle Quotientengruppen.

Ist $(G, [mm] \cdot)$ [/mm] eine Gruppe mit Gruppenoperation [mm] "$\cdot$" [/mm] und $U$ eine Untergruppe, so liefert die Äquivalenzrelation [mm] $g\sim h:\gdw g^{-1}h \in [/mm] U$ die Quotientengruppe $G/U$, was nichts anderes ist als die Menge der Nebenklassen von $U$ mit $U$ als neutrales Element in $G/U$.

Beachte, dass ich hier implizit die ganze Zeit eigentlich von Linksnebenklassen rede. Man kann $G$ auch faktorisieren in dem man $G$ in die Rechtsnebenklassen partitioniert, allerdings sind Rechts- und Linksnebenklassen identisch falls $U$ ein Normalteiler von $G$ ist (was in ehrlich gesagt den allermeisten Fällen der Fall ist, deshalb spricht man auch sehr oft bloß von "Nebenklassen").

Beachte außerdem, dass in abelschen Gruppen jede Untergruppe ein Normalteiler ist, somit erübrigt sich auch in der Kategorie abelscher Gruppen die Unterscheidung zwischen Rechts- und Linksnebenklassen.


Hoffe das hilft.


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Fragen zur Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:17 Fr 19.02.2021
Autor: Fulla


> Nun, ganz offensichtlich gilt (das ist
> hoffentlich bekannt), dass

>

> [mm][0]+[1] = [0][/mm]

>

Hallo ChopSuey,

da hast du dich verschrieben. Die rechte Seite der Gleichung muss [mm]=[1][/mm] lauten.

Lieben Gruß
Fulla

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Fragen zur Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:47 Fr 19.02.2021
Autor: ChopSuey

Hallo Fulla,

>
> > Nun, ganz offensichtlich gilt (das ist
>  > hoffentlich bekannt), dass

>  >
>  > [mm][0]+[1] = [0][/mm]

>  >
>  
> Hallo ChopSuey,
>  
> da hast du dich verschrieben. Die rechte Seite der
> Gleichung muss [mm]=[1][/mm] lauten.

Ja, natürlich! Vielen Dank.

>  
> Lieben Gruß
>  Fulla



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Fragen zur Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 Fr 19.02.2021
Autor: HJKweseleit

Nehmen wir eine endliche abelsche Gruppe, z.B. die Stundenzahlen auf dem Ziffernblatt einer Uhr von 1 bis 12. Hierauf definieren wir eine Addition: a+b=c mit a=Startzeit, b=hinzukommende Stunden, c=Endzeit.

Es ist also 3+7 = 10, 8+9=(17=)5, a+12=a mit dem neutralen Element 12.

Dadurch erhält man nun eine Gruppe mit folgenden Untergruppen:

[Dateianhang nicht öffentlich]

{12}, {6,12},  {4,8,12},  {3,6,9,12},  {2,4,6,8,10 12},   {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

Zu jeder (echten) Untergruppe kann man nun Nebenklassen bilden. {12} und {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} sind dabei ziemlich uninteressant. Nehmen wir zunächst {6,12}.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Wenn du nun irgend ein Element aus {6,12} nimmst und zu einem von {6,12} addiertst, bleibst du in {6,12}. Nimmst du nun die 1 und addierst sie der Reihe nach zu jedem Element aus {6,12}, so bekommst du die 1 selber und die 7, also genau 2 verschiedene Elemente. Sie bilden keine Gruppe, sondern eine Nebenklasse. Wenn du nun die 7 zu jedem Element aus {6,12} addierst, bleibst du in dieser Nebenklasse. Das selbe geschieht bei Addition von 2, du erhältst die 2 selber (wegen der 12) und die 8, Addition von 8 ergibt dann auch wieder 2 und 8 usw. Fazit: Jede Zahl "erzeugt" auf diese Weise aus {6,12} eine Nebenklasse, die genau so mächtig wie die Ausgangsgruppe ist und in der sie selber liegt. Die Klassen sind disjunkt und bilden zusammen die Elemente der Gesamtgruppe. Daher muss die Mächtigkeit jeder endlichen Untergruppe ein Teiler der Mächtigkeit der Gesamtgruppe sein.

Hier noch die Nebenklassen zu den anderen Untergruppen:

[Dateianhang nicht öffentlich]


[Dateianhang nicht öffentlich]


Frage, die du klären solltest: a erzeugt aus der Untergruppe H eine Nebenklasse, in der b liegt. Warum erzeugt b dieselben Elemente aus H wie a und nicht andere?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Fragen zur Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:28 Sa 20.02.2021
Autor: ireallydunnoanything

Vielen Dank für die Antworten. Hat mir sehr geholfen.

Bezug
                
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Fragen zur Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Sa 20.02.2021
Autor: ireallydunnoanything

Kann mir jemand einfach und anschaulich erklären, was es mit Normal- und Kompositionsreihen auf sich hat ? Auch, wie ich eine (endliche) Gruppe zerlege würde ich gern wissen.

Aus den Unterlagen zur Vorlesung und den Vorlesungsvideos werde ich leider nicht schlau.

Vielen Dank schonmal im Vorraus !

Grüße

Alex


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Fragen zur Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:09 Mi 24.02.2021
Autor: statler

Guten Abend!

> Kann mir jemand einfach und anschaulich erklären, was es
> mit Normal- und Kompositionsreihen auf sich hat ? Auch, wie
> ich eine (endliche) Gruppe zerlege würde ich gern wissen.

Mit einfach und anschaulich ist das so eine Sache. Eine Normalreihe von G ist einfach eine absteigende (endliche) Folge von Untergruppen, die mit G anfängt und mit [mm] \{e\} [/mm] endet und von denen jede echt in ihrem Vorgänger enthalten ist und ein Normalteiler in ihrem Vorgänger (nicht unbedingt in der Ausgangsgruppe) ist.
Ich kann dann wegen der Normalteiler-Eigenschaft jeweils die Faktorgruppen bilden. Wenn die Normalreihe so beschaffen ist, daß ich keine weiteren Untergruppen in die Kette einfügen kann, habe ich eine Kompositionsreihe. Alle Faktorgruppen sind dann einfach, haben also keinen Normalteiler.
Wenn die Faktorgruppen einer Kompositionsreihe abelsch sind, heißt die Gruppe auflösbar.
Auch eine Gruppe, die im Sinne der Gruppentheorie einfach ist, kann außerordentlich kompliziert sein.
Beispiele findet man am leichtesten bei den abelschen Gruppen [mm] \IZ/n\IZ [/mm] und bei den kleinen Gruppen bis Ordnung 24 (S4 z. B.)

>
> Aus den Unterlagen zur Vorlesung und den Vorlesungsvideos
> werde ich leider nicht schlau.

Das kommt vor.
Gruß Dieter

Bezug
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