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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Sa 26.03.2011 | | Autor: | sigmar |
| Aufgabe | | Aufgabe 9: http://www.uni-due.de/~hn213me/mt/w10/analysis3/Klausur.pdf |
Hallo zusammen. Ich bereite mich gerade auf die Analysis III Nachklausur vor und gehe dabei unter anderem die Ursprungsklausur durch, dazu gehört auch der Multiple Choice Test in Aufgabe 9.
Die Fragen 1, 2, 4 und 8 habe ich bereits beantworten können, bei den anderen benötige ich allerdings ein bisschen Hilfe.
Ich hoffe die von mir gewählte Form geht in Ordnung. Ich wollte nicht für jeden Punkt ein eigenes Thema aufmachen da ich vermute, dass die meisten Antworten relativ trivial sind und daher schnell abgehandelt werden können.
3) Ein Maß zeichnet sich ja dadurch aus, dass es sigma-additiv ist und dass die leere Menge auf 0 abgebildet wird. Sigma-Additivität ist bereits gegeben, also muss ich mich nur noch um die andere Bedingung kümmern.
Ich versteh nicht ganz warum es wichtig ist, dass ein A [mm] \in [/mm] A existiert mit 0 < [mm] \mu(A) [/mm] < [mm] \infty [/mm] aber generell denke ich doch, dass es unter den gegebenen Bedingungen durchaus eine messbare Menge geben kann, sodass [mm] \mu(\emptyset) \not= [/mm] 0 gilt.
Daher würde ich hier "nein" ankreuzen.
5) Hier scheiter ich bereits an der Definition von invariant. Ist damit translationsinvariant gemeint? In dem Fall müsste die Antwort doch "ja" sein, da das Lebesgue-Maß immer translationsinvariant ist.
6) Vielleicht übersehe ich hier etwas, aber damit f [mm] \mu-integrierbar [/mm] ist muss ja [mm] \integral|f| d\mu [/mm] < [mm] \infty [/mm] gelten und mit |f| [mm] \le [/mm] g ist genau das gegeben. Oder ist das Problem, dass ich von dieser Ungleichung nicht auf das Verhalten des Integrals schließen kann? In dem Fall wäre die Antwort dann vermutlich "nein".
7) Hier scheitert es auch direkt an den Begriffen. Ich finde einfach keine Definition was genau eine Lebesgue-Menge überhaupt ist.
9) Wiedermal Definitionsprobleme. Den Begriff "Lebesgue-semi-integrierbar" scheint es gar nicht zu geben. [mm] o_0
[/mm]
10) In der Wikipedia steht "Wenn man an die gewohnten reellen Zahlengeraden (also die x- und y-Achse) mit dem Lebesgue-Borel-Maß λ denkt, so ist es naheliegend, den [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] als den gemeinsamen Produktraum zu definieren." http://de.wikipedia.org/wiki/Produktma%C3%9F
Daraus ergibt sich doch unmittelbar die Behauptung, oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo...
Ich bereite mich auch gerade auf die gleiche Klausur vor.
bei Frage 3 kann ich dir leider auch nicht genau helfen aber ich würde auch zu "nein" tendieren.
Frage 5: würde ich auch zu "nein" sagen schaue dir das Skript an §61
satz. 61.15 da wird gezeigt dass bei linearen Abb. T sich das Maß einer Menge verändert und zwar um den Faktor [mm]\left | det(A) \right |[/mm]
Frage 6: "ja" weis nicht mehr genau wo ich es gelesen habe aber sollte in jedem skript stehen oder in Bücher
Frage 7: eine Lebesgue Menge ist eine Menge die Lebesgue Messbar ist die richtige antwort ist "nein".
siehe ![[]](/images/popup.gif) hier
Frage 9: Den Begriff gibt es §64 Definition 64.7 wobei meines erachtens dort ein Fehler ist f heißt [mm]\mu - \textrm{semiintegrierbar wenn } \int f d\mu = \inf [/mm], antwort sollte ja sein da jede stetige Fkt Lebesgue-messbar ist und somit auch semiintegrierbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 So 27.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> 3) Ein Maß zeichnet sich ja dadurch aus, dass es
> sigma-additiv ist und dass die leere Menge auf 0 abgebildet
> wird. Sigma-Additivität ist bereits gegeben, also muss ich
> mich nur noch um die andere Bedingung kümmern.
> Ich versteh nicht ganz warum es wichtig ist, dass ein A
> [mm]\in[/mm] A existiert mit 0 < [mm]\mu(A)[/mm] < [mm]\infty[/mm] aber generell denke
> ich doch, dass es unter den gegebenen Bedingungen durchaus
> eine messbare Menge geben kann, sodass [mm]\mu(\emptyset) \not=[/mm]
> 0 gilt.
> Daher würde ich hier "nein" ankreuzen.
sei $A$ eine Menge mit [mm] $\mu(A) [/mm] < [mm] \infty$. [/mm] Sei [mm] $A_0 [/mm] := A$ und [mm] $A_i [/mm] := [mm] \emptyset$ [/mm] fuer $i > 0$. Dann ist [mm] $(A_i)_{i\in\IN}$ [/mm] ein System disjunkter Mengen, und somit gilt [mm] $\mu(A) [/mm] = [mm] \mu(\bigcup A_i) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^\infty \mu(A_i) [/mm] = [mm] \mu(A) [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^\infty \mu(\emptyset)$.
[/mm]
Da [mm] $\mu(A) [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] ist gilt somit [mm] $\sum_{i=1}^\infty \mu(\emptyset) [/mm] = 0$, woraus folgt [mm] $\mu(\emptyset) [/mm] = 0$.
(Die Bedingung [mm] $\mu(A) [/mm] > 0$ brauchst du nicht.)
> 10) In der Wikipedia steht "Wenn man an die gewohnten
> reellen Zahlengeraden (also die x- und y-Achse) mit dem
> Lebesgue-Borel-Maß λ denkt, so ist es naheliegend, den
> [mm]\mathbb{R}^2[/mm] als den gemeinsamen Produktraum zu
> definieren." http://de.wikipedia.org/wiki/Produktma%C3%9F
> Daraus ergibt sich doch unmittelbar die Behauptung, oder?
Falls das Lebesgue-Borel-Mass gleich dem Borel-Mass ist, also nicht vollstaendig ist, dann ist das Lebesgue-Borel-Mass auf [mm] $\IR^2$ [/mm] gleich dem Produktmass, siehe den letzten Punkt hier.
Ist dagegen das Lebesgue-Borel-Mass gleich der Vervollstaendigung, dann gilt es eben nicht, da die [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] schon verschieden sind; siehe den vorletzten Punkt hier.
LG Felix
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