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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:54 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Richler |
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum mit dem Skalarprodukt<.,.> und Φ der Frechet-Riesz-Isomorphismus aus HA 2-4. Zeigen Sie, dass [mm] f^{ad} [/mm] = Φ^{-1} [mm] \circ [/mm] f* [mm] \circ [/mm] Φ für f [mm] \in [/mm] L(V,V) gilt.
Bemerkung: Die gleiche Aussage gilt ebenfalls für endichdimensionale unitäre Vektorräaume, allerdings ist Φ: V -> V* , v [mm] \mapsto [/mm] < . , v> , dann semilinear und bijektiv. |
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Hallo,
ich habe die Aufgabe eigentlich gelöst, aber ich würde mich über eine Kontrolle sehr freuen. =) Danke
Zu zeigen: [mm] f^{ad} [/mm] = Φ^{-1} [mm] \circ [/mm] f* [mm] \circ [/mm] Φ für f [mm] \in [/mm] L(V,V)
Definitionen der Abbildung:
Φ : V -> V* : v [mm] \mapsto [/mm] < . , v >
f* : W* -> V* : h [mm] \mapsto [/mm] h [mm] \circ [/mm] f , wobei f* (h) = h [mm] \circ [/mm] f
Φ^{-1}: V* -> V : < . , v > [mm] \mapsto [/mm] v
Sei nun v [mm] \in [/mm] V und f [mm] \in [/mm] L (V,V), dann gilt:
(Φ^{-1} [mm] \circ [/mm] f* [mm] \circ [/mm] Φ) (v) = Φ^{-1} ( f* ( Φ (v)))
= Φ^{-1} ( f* ( < . , v > )) = Φ^{-1} ( < . , v > [mm] \circ [/mm] f ) = Φ^{-1} ( < f(.) , v > ) = Φ^{-1} ( < . , [mm] f^{ad} [/mm] (v) > ) = [mm] f^{ad} [/mm] (v) = [mm] (f^{ad})(v)
[/mm]
Daraus folgt [mm] f^{ad} [/mm] = Φ^{-1} [mm] \circ [/mm] f* [mm] \circ [/mm] Φ .
Stimmt das alles?
Richler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:27 Do 23.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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