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Moin,
ich komme mit folgender Frage überhaupt nicht zurecht. Vielleicht habt Ihr eine Lösung parat:
Es sei [mm]S[/mm] eine Teilmenge einer Gruppe [mm]G[/mm]. Dann heisst [mm]G[/mm] freie Gruppe mit Basis [mm]S[/mm], falls [mm]G=[/mm] und es zu jeder Gruppe [mm]G'[/mm] und jeder Abbildung von Mengen [mm]f:S\rightarrow G'[/mm] einen eindeutigen Homomorphismus [mm]\varphi_f:G\rightarrow G'[/mm] gibt mit [mm]\varphi_f(s)=f(s)[/mm] für alle [mm]s\in S[/mm].
Ist [mm]G[/mm] frei mit Basis [mm]S[/mm], so bezeichnen wir [mm]G[/mm] mit [mm]F(S)[/mm] ("F" wie "frei").
Zeigen Sie durch Konstruktion, dass [mm]F(S)[/mm] existiert für eine beliebige Menge [mm]S[/mm].
Beweisen Sie, dass die freie abelsche Gruppe mit Basis [mm]S[/mm] eine Faktorgruppe von [mm]F(S)[/mm] ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 So 18.06.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo Jochen,
geht es um abelsche Gruppen oder ist die algemeine freie Gruppe gemeint?
Im ersten Fall ist die Konstruktion nicht schwierig, man betrachtet die Menge der Abbildungen [mm] $S\rightarrow\mathbb{Z}$, [/mm] zeigt sie eine Gruppe bilden, zeigt, dass man eine kanonische Einbettung von S in diese Gruppe hat und das jede Abbildung von S in eine abelsche Gruppe über diese freie abelsche Gruppe faktorisiert (via eindt. Homomorphismus).
Dass jede abelsche Gruppe G Faktorgruppe einer freien abelschen Gruppe ist, sieht man leicht, wenn man sich ein Erzeugendensystem S von G wählt und dazu die freie abelsche Gruppe bildet. Man erhält dann einen kanonischen surjektiven Homomorphismus von dieser freien abelschen Gruppe nach G, wenn man nun den Homomorphiesatz anwendet, folgt die Behauptung.
Viele Grüße,
Jan
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