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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Di 06.11.2007 | | Autor: | Leader |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass es einen freien Körper auf X gibt (hierbei ist X eine beliebige Menge).
b) Sei X entweder leer oder X = {x}, dann gibt es einen freien Ring auf X. Wie lautet dieser? |
Hallo,
kann mir mal jemand erklären warum es keinen freien Körper gibt (hab in der Fachliteratur dazu absolut nichts gefunden). Liegt das vielleicht daran, dass es bezüglich der 0 der Multiplikation kein Inverses gibt? Ich kann mit der Aufgabe momentan noch nicht viel anfangen, vielleicht kann ja jemand helfen.
mfg,
Leader.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Di 06.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Leader
> a) Zeigen Sie, dass es einen freien Körper auf X gibt
> (hierbei ist X eine beliebige Menge).
>
> b) Sei X entweder leer oder X = {x}, dann gibt es einen
> freien Ring auf X. Wie lautet dieser?
> Hallo,
>
> kann mir mal jemand erklären warum es keinen freien Körper
> gibt (hab in der Fachliteratur dazu absolut nichts
> gefunden).
Was genau ist denn bei euch ein freier Koerper auf $X$? Ein Koerper $K$ mit einer Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : X [mm] \to [/mm] K$ so, dass es zu jedem anderen Koerper $L$ und jeder Funktion [mm] $\psi [/mm] : X [mm] \to [/mm] L$ genau einen Koerperhomomorphismus $f : K [mm] \to [/mm] L$ gibt mit $f [mm] \circ \varphi [/mm] = [mm] \psi$?
[/mm]
In dem Fall soll die Aufgabe a) wohl eher heissen, dass es keinen freien Koerper auf $X$ gibt (fuer jede beliebige Menge $X$). Das liegt daran, dass Koerperhomomorphismen injektiv sind und somit auch die Charakteristik enthalten. Wenn also die Charakteristik von $K$ und $L$ verschieden sind, gibt es einfach keinen Koerperhomomorphismus von $K$ nach $L$.
Bei Aufgabenteil b) so als Stichwort: Polynomring. Also bei $X = [mm] \{ x \}$. [/mm] Und zwar ueber den Ring, der bei $X = [mm] \emptyset$ [/mm] rauskommt.
Schreib fuer $X = [mm] \emptyset$ [/mm] die Bedingung der Freiheit doch mal konkret hin. Sie besagt ja nur, dass es aus dem freien Ring in jeden beliebigen anderen Ring genau einen Ringhomomorphismus gibt. Hast du eine Idee, welcher das sein koennte?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Di 06.11.2007 | | Autor: | Leader |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. Hab mich da vertippt, natürlich muss es "keinen Körper" heißen.
Also wir haben eine freie Algebra wie folgt definiert:
Sei X eine Menge. Eine freie Omega-Algebra auf X ist eine Omega-Algebra (F, [mm] (g_i)_{i \in I}) [/mm] zusammen mit einer Abbildung u: F [mm] \to [/mm] X, so dass gilt: Für alle Omega-Algebren A und alle Abbildungen f: F [mm] \to [/mm] A gibt es genau einen Homomorphismus von Omega-Algebren h: F [mm] \to [/mm] A mit h [mm] \circ [/mm] u = f.
Wenn jetzt X leer ist, heißt das dann, dass der freie Ring leer ist? Wenn in dem Ring nur das Element x liegt, besteht dann der Ring aus allen möglichen Verknüpfungen auf x?
Und warum kann ich eigentlich voraussetzen, dass die Charakteristik von K und L zwangsläufig verschieden sein muss. so dass es keinen freien Körper gibt?
mfg,
Leader.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Mi 07.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> vielen Dank für deine Antwort. Hab mich da vertippt,
> natürlich muss es "keinen Körper" heißen.
>
> Also wir haben eine freie Algebra wie folgt definiert:
> Sei X eine Menge. Eine freie Omega-Algebra auf X ist eine
> Omega-Algebra (F, [mm](g_i)_{i \in I})[/mm] zusammen mit einer
> Abbildung u: F [mm]\to[/mm] X, so dass gilt: Für alle Omega-Algebren
> A und alle Abbildungen f: F [mm]\to[/mm] A gibt es genau einen
> Homomorphismus von Omega-Algebren h: F [mm]\to[/mm] A mit h [mm]\circ[/mm] u
> = f.
>
> Wenn jetzt X leer ist, heißt das dann, dass der freie Ring
> leer ist?
Nein, wieso? Einen leeren Ring gibt es sowieso nicht...
Wenn $X$ leer ist, uebersetzt sich die Eigenschaft doch wie folgt:
Ein Ring $R$ ist ein freier Ring ueber $X$, wenn es zu jedem anderen Ring $S$ genau einen Ringhomomorphismus $R [mm] \to [/mm] S$ gibt.
(Ich nehme mal an, dass Ringe bei euch eine 1 haben und Ringhomomorphismen die 1 auf die 1 abbilden.)
Der Nullring (der kleinste Ring ueberhaupt) erfuellt das definitiv nicht, da man den Nullring auf nichts anderes als den Nullring abbilden kann. Du brauchst also einen sehr einfachen Ring, der nicht der Nullring ist.
Was kennst du so an Ringen?
> Wenn in dem Ring nur das Element x liegt,
> besteht dann der Ring aus allen möglichen Verknüpfungen auf
> x?
Was heisst ``alle moeglichen Verknuepfungen auf $x$''?
Der Ring muss sozusagen ein ``freies'' Element haben, was man auf beliebige Elemente aus anderen Ringen abbilden muss.
Aber loes die Aufgabe doch erstmal fuer $X = [mm] \emptyset$.
[/mm]
> Und warum kann ich eigentlich voraussetzen, dass die
> Charakteristik von K und L zwangsläufig verschieden sein
> muss. so dass es keinen freien Körper gibt?
Das musst du nicht zwingend voraussetzen. Das ist halt die einfachste Moeglichkeit, das zu zeigen. Du musst einfach nur zu jedem Koerper $K$ einen Koerper $L$ finden so, dass es keinen Koerperhomomorphismus $K [mm] \to [/mm] L$ gibt.
Und das erreicht man am einfachsten, wenn man $L$ als einen Koerper von anderer Charakteristik als $K$ waehlt.
LG Felix
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