Für was ist f stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Mi 19.05.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] \alpha\in\IR [/mm] und die Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] definiert mittels
[mm] f(x)=\begin{cases} -x^2, & \mbox{für } x\le0 \\ \alpha sin^2(x)-x, & \mbox{für } 02\pi \end{cases}.
[/mm]
Für welche Zahl [mm] \alpha\in\IR [/mm] ist die Funktion f stetig auf [mm] \IR? [/mm] |
Hallo!
Ich weiß nicht wie ich mit dieser Einteilung umgehen soll, und was stetig genau bedeutet weiß ich auch nicht. Mir wurde das so erklärt, dass es heißt, dass die Funktion keine "Sprünge" hat. Wie zeige ich das?
Heißt das auf die Aufgabe bezogen, dass sich die Funktion mit dem x verändert? Also dass die funktion [mm] f(x<0)=-x^{2} [/mm] heißt, wenn [mm] x\le0 [/mm] ist und wenn [mm] 0
Wann genau weiß ich, ob die Funktion stetig ist oder nicht?
Danke für die Mühe,
schöne Grüße!
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Hiho,
ihr hattet doch bestimmt schon die Definition von Stetigkeit, schlag das doch erstmal nach.
Du solltest 2 Möglichkeiten finden, ![[]](/images/popup.gif) Stetigkeit zu zeigen.
1. Per [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium
[/mm]
2. Per Folgenstetigkeit
Bei obigem Beispiel empfielt sich die Folgenstetigkeit zu verwenden.
Dazu brauchst du nur die "Übergangsstellen" zu betrachten (warum?).
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mi 19.05.2010 | | Autor: | stffn |
Ich denke es müssen nur die Nahtstellen betrachtet werden, weil die einzelnen Bereiche [mm] (x\le0, [/mm] 0<x [mm] \le 2\pi [/mm] und [mm] x>2\pi) [/mm] von den Vorgaben her sowieso stetig sind [mm] (-x^{2}, \alpha*(sin^{2}(x)-x) [/mm] und [mm] 2\pi).
[/mm]
Jetzt muss überprüft werden, ob die "einzelnen" Funktionen an den Nahtstellen "aneinander" liegen?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo stffn!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mi 19.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sei [mm]\alpha\in\IR[/mm] und die Funktion [mm]f:\IR\to\IR[/mm]
> definiert mittels
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} -x^2, & \mbox{für } x\le0 \\ \alpha sin^2(x)-x, & \mbox{für } 02\pi \end{cases}.[/mm]
>
> Für welche Zahl [mm]\alpha\in\IR[/mm] ist die Funktion f stetig auf
> [mm]\IR?[/mm]
> Hallo!
> Ich weiß nicht wie ich mit dieser Einteilung umgehen
> soll, und was stetig genau bedeutet weiß ich auch nicht.
> Mir wurde das so erklärt, dass es heißt, dass die
> Funktion keine "Sprünge" hat. Wie zeige ich das?
> Heißt das auf die Aufgabe bezogen, dass sich die Funktion
> mit dem x verändert? Also dass die funktion [mm]f(x<0)=-x^{2}[/mm]
> heißt, wenn [mm]x\le0[/mm] ist und wenn [mm]0
> Funktion [mm]f(0
>
> Wann genau weiß ich, ob die Funktion stetig ist oder
> nicht?
>
> Danke für die Mühe,
> schöne Grüße!
Bist du sicher, dass du die Funktion richtig abgeschrieben hast?
Es gilt [mm] sin(2\pi)=0, [/mm] damit ist auch [mm] sin^2(2\pi) [/mm] und auch [mm] \alpha*sin^2(2\pi)=0.
[/mm]
Somit gilt [mm] \alpha*sin^2(2\pi)-2\pi=-2\pi [/mm] für alle [mm] \alpha.
[/mm]
Damit hat man an der Nahtstelle [mm] x=2\pi [/mm] IMMER einen Sprung zwischen [mm] -2\pi [/mm] ind [mm] +\pi [/mm] und somit für kein [mm] \alpha [/mm] einen stetigen Übergang.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Mi 19.05.2010 | | Autor: | stffn |
Ich habe nur eine Klammer vergessen:
[mm] f(x)=\begin{cases} -x^2, & \mbox{für } x\le0 \\ \alpha (sin^2(x)-x), & \mbox{für } 02\pi \end{cases}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo stffn!
Dann untersuche nun an beiden Nahtstellen [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ und [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] 2\pi$ [/mm] jeweils den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert und vergleiche.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mi 19.05.2010 | | Autor: | stffn |
Muss ich die Grenzwerte für [mm] x\to\infty [/mm] ausrechnen oder für [mm] x\tox_{0} [/mm] ?
Denn letzteres habe ich in dieser Definition gefunden Stetigkeit .
Was soll denn das [mm] x_{0} [/mm] sein?
Ich habe es mal so gemacht:
Grenzwerte der Nahtstellen:
Für [mm] x_{1}=0:
[/mm]
[mm] G_{1}=\limes_{ x \rightarrow x_{0}}f(x=0)=\limes_{ x \rightarrow x_{0}}0=0
[/mm]
Für [mm] x_{2}=2\pi:
[/mm]
[mm] G_{2}=\limes_{ x \rightarrow x_{0}}f(x=2\pi)=\limes_{ x \rightarrow x_{0}}(\alpha*sin^{2}(x)-x*\alpha)=0
[/mm]
Wenn ich die Grenzwerte jeweils für [mm] x\to\infty [/mm] ausrechne, komme ich in beiden Fällen auf [mm] G_{1}=G_{2}=-\infty.
[/mm]
Aber irgendwie macht das alles keinen Sinn. Wenn ich x [mm] \to x_{0} [/mm] gehen lasse, kann ich ja schlecht einen Grenzwert für die Nahtstelle [mm] x_{2}=2\pi [/mm] ausrechnen. Weil bei [mm] x_{0} [/mm] habe ich doch ne ganz andere Form, nämlich [mm] f(x)=-x^{2} [/mm] ...
Ich bin gerade völlig verwirrt. Umso mehr ich drüber nachdenke umso unlogischer kommen mir meine Ideen vor.
Wie kann denn überhaupt ein Punkt (eine Nahtstelle) einen Grenzwert haben?
Oder muss ich die Grenzwerte so berechnen:
linksseitiger Grenzwert für [mm] x_{1}:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0, x\le0}
[/mm]
rechtsseitiger Grenzwert für [mm] x_{1}:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0, x\ge0}
[/mm]
linksseitiger Grenzwert für [mm] x_{2}:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow2\pi, x\le2\pi}
[/mm]
rechtsseitiger Grenzwert für [mm] x_{2}:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow2\pi, x\ge2\pi} [/mm] ?
Sorry wenn da jetzt nur mist bei rausgekommen ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mi 19.05.2010 | | Autor: | stffn |
Ich hatte gerade nochmal einen Gedächtnisblitz. Hab mir die Aufgabe nochmal genau angeguckt und einfach drüber nachgedacht:
Für die Nahtstelle [mm] x_{1}=0 [/mm] müsste das [mm] \alpha [/mm] egal sein, da, wenn [mm] x\to0 [/mm] geht, das hier [mm] \alpha(sin^{2}(x)-x) [/mm] undabhängig vom [mm] \alpha [/mm] auch immer gegen 0 geht.
Für die Nahtstelle [mm] x_{2}=2\pi [/mm] müsste [mm] \alpha=\bruch{-1}{2} [/mm] sein [mm] (x\to2\pi). [/mm] Denn dann ist [mm] \alpha*(-(2\pi))=\bruch{-1}{2}*(-2\pi)=\pi
[/mm]
Das könnte sogar stimmen. ???
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Hallo nochmal,
guter Blitz. Das stimmt.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Mi 19.05.2010 | | Autor: | stffn |
Super, danke für die Hilfe!
So einfach kanns gehen. Ich hab wohl um zu viele Ecken gedacht.
Schönen Abend noch!
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Guten Abend,
ganz kurz:
> Wenn ich die Grenzwerte jeweils für [mm]x\to\infty[/mm] ausrechne,
> komme ich in beiden Fällen auf [mm]G_{1}=G_{2}=-\infty.[/mm]
>
> Aber irgendwie macht das alles keinen Sinn.
Stimmt. So wäre es sinnlos.
> Oder muss ich die Grenzwerte so berechnen:
> linksseitiger Grenzwert für [mm]x_{1}:[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0, x\le0}[/mm]
>
> rechtsseitiger Grenzwert für [mm]x_{1}:[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0, x\ge0}[/mm]
>
> linksseitiger Grenzwert für [mm]x_{2}:[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow2\pi, x\le2\pi}[/mm]
>
> rechtsseitiger Grenzwert für [mm]x_{2}:[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow2\pi, x\ge2\pi}[/mm] ?
Ja, genau so.
> Sorry wenn da jetzt nur mist bei rausgekommen ist.
Kein Problem.
Du wirst feststellen, dass die Nahtstelle bei [mm] x_1=0 [/mm] unproblematisch ist und nicht von [mm] \alpha [/mm] abhängt, und dass darum die zweite tatsächlich zu "flicken" ist.
Dafür musst Du aber tatsächlich vier Grenzwerte bestimmen, wobei drei davon ganz leicht sind.
Viel Erfolg!
reverend
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