Für welche n teilt 7 ... < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Mi 18.08.2010 | | Autor: | solero |
| Aufgabe | | Für welche n teilt 7 die Zahl [mm] 4*13^n [/mm] - 1? |
Hallo
meine Vorgehensweise sieht wie folgt aus:
7 | [mm] 4*13^n [/mm] - 1 [mm] \gdw 4*13^n [/mm] - 1 = 7x
Ferner: [mm] 4*13^n [/mm] - 1 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 7 [mm] \gdw 4*13^n \equiv [/mm] 1 mod 7
Außerdem ist mir aufgefallen: 7, 13 prim [mm] \Rightarrow [/mm] n prim (?)
Soll ich jetzt tatsächlich alle n Primzahlen durchgehen bis ich eins gefunden habe, bei der die Aussage gilt?! Hab ehrlich gesagt auch schon damit angefangen und bei n=11 aufgehört.
Da muss es doch irgendwie einen anderen Weg geben?!?!?
Gruß,
Rousi.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Mi 18.08.2010 | | Autor: | PeterB |
Versuche doch erst mal herauszufinden was [mm] 13^n [/mm] mod 7 für beliebiges n ist. Danach kannst Du dir überlegen, dass das schon reicht um die Aufgabe zu lösen. (Modulo zieht sich aus Multiplikationen und Subtraktionen heraus.)
Wenn Du Probleme bekommst frag doch noch mal konkreter nach.
Gruß
Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mi 18.08.2010 | | Autor: | solero |
Also mir ist aufgefallen, dass für alle n gerade gilt: [mm] 13^n \equiv [/mm] 1 mod 7
und für alle n ungerade gilt: [mm] 13^n \equiv [/mm] -1 mod 7
was sagt mir das bzw was kann ich jetzt daraus schlußfolgern?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Mi 18.08.2010 | | Autor: | PeterB |
Das ist richtig, das solltest Du zeigen, und dann schlussfolgern: [mm] $4*13^n-1\equiv [/mm] 3 [mm] \text{mod} [/mm] 7$ für gerade n und [mm] $4*13^n-1\equiv [/mm] 2 [mm] \text{mod} [/mm] 7$ für ungerade n. Also ist [mm] $4*13^n-1$ [/mm] nie durch 7 teilbar.
Gruß
Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Mo 06.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Für welche n teilt 7 die Zahl [mm]4*13^n[/mm] - 1?
Hallo,
da [mm] 13\equiv [/mm] -1 mod 7 gilt,
ist eine Vereinfachung zu
[mm] 4*(-1)^n [/mm] -1 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 7 möglich.
Da weder 4-1=3 noch -4-1=-5 durch 7 teilbar ist, gibt es kein solches n.
Gruß Abakus
> Hallo
>
> meine Vorgehensweise sieht wie folgt aus:
>
> 7 | [mm]4*13^n[/mm] - 1 [mm]\gdw 4*13^n[/mm] - 1 = 7x
>
> Ferner: [mm]4*13^n[/mm] - 1 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 7 [mm]\gdw 4*13^n \equiv[/mm]
> 1 mod 7
>
> Außerdem ist mir aufgefallen: 7, 13 prim [mm]\Rightarrow[/mm] n
> prim (?)
>
> Soll ich jetzt tatsächlich alle n Primzahlen durchgehen
> bis ich eins gefunden habe, bei der die Aussage gilt?! Hab
> ehrlich gesagt auch schon damit angefangen und bei n=11
> aufgehört.
> Da muss es doch irgendwie einen anderen Weg geben?!?!?
>
> Gruß,
>
> Rousi.
|
|
|
|
