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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Sa 05.02.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Für welche Werte von $t [mm] \in \IR$ [/mm] bilden die Vektoren
[mm]\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ t \end{pmatrix}[/mm], [mm]\vec b= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm], [mm]\vec c = \begin{pmatrix} t \\ 1 \\ t \end{pmatrix}[/mm]
eine Basis des [mm] $\IR^3$? [/mm] Gibt es ein $t$, für das diese 3 Vektoren orthogonal zueinander werden? |
Mein Ansatz:
Ich bilde die Determinante, die Null sein soll und löse nach t auf:
[mm]A = \begin{vmatrix}
1 & -1 & t \\
-2 & 0 & 1 \\
t & 1 & t
\end{vmatrix} = -5t - 1 = 0 \gdw t = -\bruch{1}{5}[/mm]
Jetzt Orthogonalität:
[mm]\vec a \cdot \vec b = 0[/mm]
[mm]\vec a \cdot \vec c = 0[/mm]
[mm]\vec b \cdot \vec c = 0[/mm]
Nach t auflösen ergibt das $ t = 1$.
Hab ich mich da verrechnet? Denn wenn die Vektoren orthogonal sind, so müssten sie dann doch auch linear unabhängig sein. Ich habe jedoch $ t [mm] =-\bruch{1}{5} [/mm] $ eindeutig bestimmt als einzige Lösung, damit die Vektoren linear unabhängig sind?
Wo hab ich mich vertan?
thx!
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> Für welche Werte von [mm]t \in \IR[/mm] bilden die Vektoren
> [mm]\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ t \end{pmatrix}[/mm], [mm]\vec b= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm],
> [mm]\vec c = \begin{pmatrix} t \\ 1 \\ t \end{pmatrix}[/mm]
>
> eine Basis des [mm]\IR^3[/mm]? Gibt es ein [mm]t[/mm], für das diese 3
> Vektoren orthogonal zueinander werden?
> Mein Ansatz:
> Ich bilde die Determinante, die Null sein soll und löse
> nach t auf:
> [mm]A = \begin{vmatrix}
1 & -1 & t \\
-2 & 0 & 1 \\
t & 1 & t
\end{vmatrix} = -5t - 1 = 0 \gdw t = -\bruch{1}{5}[/mm]
Das würde ich nochmal nachrechnen, die Determinante ist m.E. falsch.
>
> Jetzt Orthogonalität:
>
> [mm]\vec a \cdot \vec b = -1 - t = 0[/mm]
> [mm]\vec a \cdot \vec c = t - 2 + t^{2} = 0[/mm]
> [mm]\vec b \cdot \vec c = -t - t = 0[/mm]
>
> Nach t auflösen ergibt das [mm]t = 1[/mm].
Nein, sicher nicht, siehe die ausformulierten Skalarprodukte, die ich eingefügt habe.
>
> Hab ich mich da verrechnet?
Ja!
> Denn wenn die Vektoren
> orthogonal sind, so müssten sie dann doch auch linear
> unabhängig sein. Ich habe jedoch [mm]t =-\bruch{1}{5}[/mm]
> eindeutig bestimmt als einzige Lösung, damit die Vektoren
> linear unabhängig sind?
Du hast Recht - wenn du im [mm] \IR^{3} [/mm] drei paarweise orthogonale Vektoren hast, dann sind die auch linear unabhängig.
>
> Wo hab ich mich vertan?
Beim Rechnen, in beiden Aufgabenteilen.
>
> thx!
lg weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Sa 05.02.2011 | | Autor: | BarneyS |
> > Für welche Werte von [mm]t \in \IR[/mm] bilden die Vektoren
> > [mm]\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ t \end{pmatrix}[/mm],
> [mm]\vec b= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm],
> > [mm]\vec c = \begin{pmatrix} t \\ 1 \\ t \end{pmatrix}[/mm]
> >
> > eine Basis des [mm]\IR^3[/mm]? Gibt es ein [mm]t[/mm], für das diese 3
> > Vektoren orthogonal zueinander werden?
> > Mein Ansatz:
> > Ich bilde die Determinante, die Null sein soll und
> löse
> > nach t auf:
> > [mm]A = \begin{vmatrix}
1 & -1 & t \\
-2 & 0 & 1 \\
t & 1 & t
\end{vmatrix} = -5t - 1 = 0 \gdw t = -\bruch{1}{5}[/mm]
>
> Das würde ich nochmal nachrechnen, die Determinante ist
> m.E. falsch.
Hab ich gerade nochmal nachgerechnet und bin wieder auf das Ergebnis gekommen.
>
>
> >
> > Jetzt Orthogonalität:
> >
> > [mm]\vec a \cdot \vec b = -1 - t = 0[/mm]
> > [mm]\vec a \cdot \vec c = t - 2 + t^{2} = 0[/mm]
>
> > [mm]\vec b \cdot \vec c = -t - t = 0[/mm]
> >
> > Nach t auflösen ergibt das [mm]t = 1[/mm].
>
> Nein, sicher nicht, siehe die ausformulierten
> Skalarprodukte, die ich eingefügt habe.
>
> >
> > Hab ich mich da verrechnet?
> Ja!
In der Tat! Es gibt keine Lösung für t, so dass alle Vektoren orthogonal sind.
Danke für die Hilfe!
lg B
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Deine Determinante ist immer noch falsch - vermutlich ein Vorzeichenfehler. Denk dran, dass beim Entwicklungssatz die Vorzeichen für jede Stelle der Matrix wechseln.
Je nachdem, welchen Weg du einschlägst, bekommst du etwa solche Terme:
$d = -t + 2t - (-1+2t)$
oder
$d = 1 + 1*(-2*t-t) + 2*t$
Wenn du z.B. im ersten Term beim zweiten Summanden das Vorzeichen drehst, bekommst du deine Lösung - deswegen meine o.g. Vermutung, wo dein Fehler liegt.
lg weightgainer
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