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| Aufgabe | Gegeben ist die folgende Differentialgleichung
y'' - [mm] \bruch{3}{t} [/mm] y' + [mm] \bruch{4}{t²} [/mm] y = t
für t > 0.
1. Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem für die Differentialgleichung.
2. Bestimmen Sie durch Variation der Konstanten eine spezielle Lösung.
3. Lösen Sie das AWP aus der DGL (1) und den Anfangswerten y(1) = 0 und y'(1) = 0.
Hinweis:
Es gibt eine Polynomlösung der homogenen Gleichnung
[mm] \integral_{}^{}{ln(x) dx} [/mm] = x ln(x) - x
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bräuchte zu den teilaufgaben 1,2 und 3 ansätze zum lösen
die lösungen sind folgende:
1.
y1 = t²
y2 = t² ln t
2.
yp = t³
3.
y = t³ − t² − t² ln (t)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Di 10.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Multipliziere die DGL mit [mm] t^2 [/mm] durch. Dann erhälst Du eine Eulersche-DGL. Dafür gibt es ein einfaches Kochrezept !
FRED
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Hallo nupagadii,
> Gegeben ist die folgende Differentialgleichung
>
> y'' - [mm]\bruch{3}{t}[/mm] y' + [mm]\bruch{4}{t²}[/mm] y = t
>
> für t > 0.
> 1. Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem für die
> Differentialgleichung.
> 2. Bestimmen Sie durch Variation der Konstanten eine
> spezielle Lösung.
> 3. Lösen Sie das AWP aus der DGL (1) und den Anfangswerten
> y(1) = 0 und y'(1) = 0.
>
> Hinweis:
> Es gibt eine Polynomlösung der homogenen Gleichnung
>
> [mm]\integral_{}^{}{ln(x) dx}[/mm] = x ln(x) - x
>
>
>
> bräuchte zu den teilaufgaben 1,2 und 3 ansätze zum lösen
Nun, bei 1. errätst Du eine Lösung [mm]y_{1}[/mm] der homogenen DGL.
[mm]y'' - \bruch{3}{t} y' + \bruch{4}{t²} y = 0[/mm]
Eine zweite Lösung findest Du, wenn Du den Ansatz
[mm]y_{2}\left(t\right)=y_{1}\left(t\right)*z\left(t\right)[/mm]
in die homogene DGL einsetzt.
Für die spezielle Lösung ( 2. ) machst Du den Ansatz
[mm]y\left(t)= C_{1}\left(t\right)*y_{1}\left(t\right)+C_{2}\left(t\right)*y_{2}\left(t\right)[/mm]
mit der Zusatzbedingung
[mm] C_{1}'\left(t\right)*y_{1}\left(t\right)+C_{2}'\left(t\right)*y_{2}\left(t\right)=0[/mm]
3. ist nur Einsetzen der Anfangsbedingungen in die allgemeine Lösung
und deren Ableitung sowie dann das Lösen des entstehenden Gleichungssystems.
> die lösungen sind folgende:
>
> 1.
> y1 = t²
> y2 = t² ln t
>
> 2.
> yp = t³
>
> 3.
> y = t³ − t² − t² ln (t)
Gruß
MathePower
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