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Fundamentale Äquivalenzen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Mi 23.11.2005
Autor: Franzis

Hallo, ich habe eine Aufgabe zu lösen:

ich soll die folgende Aufgabe per algebraischen Umformungen umformen:

[mm] \nu: [/mm] = X [mm] \to \neg(Y \vee [/mm] Z) soll ich zu (Z [mm] \to [/mm] (X [mm] \to [/mm] Y))  [mm] \wedge [/mm] (Y [mm] \to \negX) [/mm] . Ich soll dabei so etwas wie Idempotenz Kommutativität, Absorption u.ä. nutzen.


Bitte um Hilfe
        
Bezug
Fundamentale Äquivalenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 Do 24.11.2005
Autor: Karl_Pech

Hallo Franzis,


[willkommenir]


> ich soll per booleschen Umformungen zeigen:
>
> [mm]x \Rightarrow \overline {y + z} \equiv \left( {z \Rightarrow \left( {x \Rightarrow y} \right)} \right) \cdot{ \left( {y \Rightarrow \bar x} \right)}[/mm]


Die obige Aufgabenstellung habe ich aus dem Quelltext deines Artikels erschlossen, ich hoffe mal, daß Du genau das zeigen wolltest. ;-)


[]Hier findest Du die Gesetze, die wir brauchen. Was bedeutet übrigens $a [mm] \Rightarrow [/mm] b$? Angenommen a ist eine falsche Aussage und Du folgerst etwas daraus, dann kannst Du über b nichts mehr genau in Erfahrung bringen. b ist entweder wahr oder falsch. Wenn aber a wahr ist, kannst Du daraus (idealisiert betrachtet [happy]) immer nur etwas Wahres folgern. Erstelle dir also mal eine Wertetabelle, und Du erhälst folgende Äquivalenz:


$a [mm] \Rightarrow [/mm] b [mm] \equiv \bar{a} [/mm] + [mm] b\qquad\color{magenta}\left(\star\right)$. [/mm]


Jetzt können wir es mal mit deiner Aussage versuchen:


[mm]\begin{gathered} x \Rightarrow \overline {y + z} \mathop \equiv \limits^{\left( \star \right)} \bar x + \overline {y + z} \mathop \equiv \limits^{{\textrm{De Morgan}}} \bar x + \bar y \cdot \bar z \hfill \\ \mathop \equiv \limits^{{\textrm{Distributivgesetz}}} \left( {\bar x + \bar y} \right)\left( {\bar x + \bar z} \right)\mathop \equiv \limits^{\begin{subarray}{l} {\textrm{Assoziativ-- \&}} \\ {\textrm{Kommutativgesetze}} \end{subarray}} \left( {\bar z + \bar x} \right)\left( {\bar y + \bar x} \right) \hfill \\ \mathop \equiv \limits^{{\textrm{Existenz der Komplemente}}} \left( {\bar z + \bar x + y\bar y} \right)\left( {\bar y + \bar x} \right) \hfill \\ \mathop \equiv \limits^{{\textrm{Distributivgesetz}}} \left( {\bar z + \bar x + y} \right)\left( {\bar z + \bar x + \bar y} \right)\left( {\bar y + \bar x} \right) \hfill \\ \mathop \equiv \limits^{{\textrm{Distributivgesetz \& Idempotenz}}} \left( {\bar z + \bar x + y} \right)\left( {\bar z\left( {\bar x + \bar y} \right) + \bar x + \bar y} \right) \hfill \\ \mathop \equiv \limits^{\left( \star \right)} \left( {z \Rightarrow \left( {x \Rightarrow y} \right)} \right) \cdot \left( {\bar z \cdot \bar x + \bar z \cdot \bar y + \bar x + \bar y} \right) \hfill \\ \mathop \equiv \limits^{{\textrm{Distributivgesetz}}} \left( {z \Rightarrow \left( {x \Rightarrow y} \right)} \right) \cdot \left( {\left( {\bar z + 1} \right) \cdot \bar x + \left( {\bar z + 1} \right) \cdot \bar y} \right) \hfill \\ \mathop \equiv \limits^{{\textrm{Juhuuu!! :) Endlich }}\dots{\textrm{ Absorption! :-9}}} \left( {z \Rightarrow \left( {x \Rightarrow y} \right)} \right) \cdot \left( {\bar x + \bar y} \right) \hfill \\ \mathop \equiv \limits^{\left(\star\right)} \left( {z \Rightarrow \left( {x \Rightarrow y} \right)} \right) \cdot \left( {y \Rightarrow \bar x} \right) \hfill \\ \end{gathered}[/mm]


Was zu beweisen war... .



Viele Grüße
Karl



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