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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Di 27.06.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | bestimme die fundamentallösung für das homogene system:
x' = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 3 } [/mm] x
mit x [mm] \in \IC^{3}.
[/mm]
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hallo leute!
ich bin beim lösen der aufgabe inzwischen soweit gekommen:
ich habe die eigenwerte ausgerechnet mit det(A-pE)=0 (wobei A die matrix aus der angabe ist).
[mm] det(A-pE)=(1-p)(p-2)^{2}
[/mm]
also sind [mm] p_{1}=1 [/mm] und [mm] p_{2}=2 [/mm] eigenwerte, wobei 2 doppelter eigenwert ist.
jetzt muss ich doch die eigenvektoren zu den eigenwerten ausrechnen.
also [mm] (A-p_{1}E) \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] wobei [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] = x.
eigenvektor [mm] v_{1} [/mm] zu 1 ist [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}.
[/mm]
dasselbe für [mm] p_{2}=2: [/mm] eigenvektor [mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
jetzt berechne ich den hauptvektor 2. stufe:
[mm] (A-p_{2}E) [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 } [/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 } \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}.
[/mm]
[mm] v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1}.
[/mm]
also sind [mm] u_{1}(t) [/mm] = [mm] e^{1t} \vektor{0 \\ 1 \\ 0}.
[/mm]
[mm] u_{2} [/mm] = [mm] e^{2t} \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] u_{3} [/mm] = [mm] e^{2t} \vektor{1 + t \\ -1 \\ 1 + t}.
[/mm]
stimmt meine lösung? ich bin mir ziemlich unsicher. ich hoffe, ihr könnt mich verbessern und mir weiterhelfen. danke!
VH
stimmt das bis hierhin?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Di 27.06.2006 | | Autor: | planloos |
hallo vhn,
erstmal mein beileid dazu, das du dir auch diese vorlesung antun must, ich hoffe mal, dir gings in der klausur besser als mir....
ich bin leider auch keine leuchte im bereich der differenzialgleichungen,
allerdings glaube ich zumindest in deiner lösung einen fehler gefunden zu haben...
bei der berechung des hauptvektors 2. stufe (hätte ich von dem in linearer algebra schon mal was hören solln?? ) hast du die matrix zum eigenwert 2 genommen * x1 x2 x3 = EV zum EW (1)....
ich glaube aber, das du die matrix * x1 x2 x3 = EV zum EW (2) nehmen must... den rest deiner lösung kann ich leider nicht kommentieren, mit dem muss ich jetzt selber noch kämpfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
> $ [mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 } \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}. [/mm] $
Hier machst du einen Fehler. Du bestimmst den Hauptvektor 2. Stufe zum Eigenwert 1, nicht 2. Richtig müsstest du die Gleichung $ [mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 } \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}. [/mm] $ lösen.
Der Rest, d.h. die Art des Vorgehens, ist aber richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Dass deine Endlösung nicht stimmen kann, siehst du, wenn du in die Funktionen der scheinbaren Basis einmal $t=0$ einsetzt. Du erhältst drei linear abhängige Vektoren, was nicht sein kann.
Liebe Grüße,
Hanno
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