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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich habe zu dem Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra eine Frage!
SATZ :
Jedes nicht - konstante komplexe Polynom besitzt eine Nullstelle!
BEWEIS :
Sei [mm] f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + ... + a_0 [/mm] mit [mm] n \ge 1, a_n \ne 0 [/mm].
[mm] \left| f(z) \right| [/mm] = [mm] \left| z^n \right| \cdot \left| a_n + \bruch{ a_{n-1} }{ z } + ...+ \bruch{a_0}{z^n } \right| \to \infty [/mm] [/mm] für [mm] \left| z \right| \to \infty [/mm].
Angenommen [mm] f(z ) \ne 0 [/mm] für alle [mm] z \in \mathbb C [/mm].
Sei [mm] g(z) := [mm] \bruch{1}{f(z)}.
[/mm]
Dann ist g eine ganze Funktion.
g ist beschränkt:
Es gibt ein R mit [mm] \left| f(z) \right| \ge 1 [/mm] falls [mm] \left| z \right| \ge R [/mm]. Daher ist [mm] \left| g(z) \right| \le 1 [/mm] für [mm] \left| z \right| \ge R [/mm].
Da g stetig ist, gibt es ein [mm] M \ge 0 [/mm] mit [mm] \left| g(z) \right| \le M [/mm] für [mm] \left|z \right| \le R [/mm].
( WARUM gilt das??? )
Dann ist [mm] \left| g(z) \right| \le \max \{ 1, M \} \forall z \in \mathbb C [/mm]
Nach Louville ist g konstant . Daraus folgt, dass f konstant ist, und das ist ein Widerspruch!
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Mi 07.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Irmchen!
> Da g stetig ist, gibt es ein [mm]M \ge 0[/mm] mit [mm]\left| g(z) \right| \le M[/mm]
> für [mm]\left|z \right| \le R [/mm].
>
> ( WARUM gilt das??? )
Das liegt daran, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen ihr Maximum annehmen. Die Menge [mm] $\{z \in \IC \mid |z| \le R \}$ [/mm] ist kompakt, und $g$ ist auf ihr stetig, also auch $|g|$, womit $|g|$ auf der Menge ein Maximum annimmt, nennen wir es $M$. Dann gilt $|g(z)| [mm] \le [/mm] M$ fuer alle $z$ aus dieser Menge, also fuer alle $z$ mit $|z| [mm] \le [/mm] R$.
LG Felix
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! Mein Gott, dass mir das nicht selber einfällt! Peinlich für mich 