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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich wollte prüfen welches der Lösungen ein Fundamentalsystem bilden. Also habe ich mir die Wronski-Determinante ausgerechnet und komme auf folgende Ergebnisse:
(i) [mm] -3x^{2}e^{x}
[/mm]
(ii) [mm] -e^{x}(x^{2}-5x+5)
[/mm]
(iii) [mm] -2x^{2}e^{x}
[/mm]
Meine Frage ist nun: Was sagt mir das genau? Ich weiß, dass meine lineare DGL eindeutig auf einem Intervall lösbar ist und auf diesem ist die Determinante immer 0 oder ungleich 0. Können jetzt aber nicht alle drei Systeme Lösungen sein, da ich das Intervall nicht kenne? Intuitiv würde ich jetzt die erste nehmen, weil diese eindeutig ungleich 0 auf ganz [mm] \IR [/mm] ist. Wenn aber jetzt zb das Intervall auf dem meine DGL lösbar wäre [10,20] wäre würde ich doch alle nehmen können. Kann ich hier auf das Fundamentalsystem schließen ohne das wirkliche Intervall zu kennen?
ciao, Mike.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Di 02.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo,
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> ich wollte prüfen welches der Lösungen ein
> Fundamentalsystem bilden. Also habe ich mir die
> Wronski-Determinante ausgerechnet und komme auf folgende
> Ergebnisse:
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> (i) [mm]-12e^{x}[/mm]
> (ii) [mm]-e^{x}(x^{2}-5x+5)[/mm]
> (iii) [mm]-2x^{2}e^{x}[/mm]
Das habe ich nicht überprüft.
Ein Fundamentalsystem besteht, in diesem Fall; aus zwei linear unabhängigen Lösungen. Das ist der Fall, wenn die Wronskideterminante [mm] \not= [/mm] 0 ist.
FRED
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> Meine Frage ist nun: Was sagt mir das genau? Ich weiß, dass
> meine lineare DGL eindeutig auf einem Intervall lösbar ist
> und auf diesem ist die Determinante immer 0 oder ungleich
> 0. Können jetzt aber nicht alle drei Systeme Lösungen sein,
> da ich das Intervall nicht kenne? Intuitiv würde ich jetzt
> die erste nehmen, weil diese eindeutig ungleich 0 auf ganz
> [mm]\IR[/mm] ist. Wenn aber jetzt zb das Intervall auf dem meine DGL
> lösbar wäre [10,20] wäre würde ich doch alle nehmen können.
> Kann ich hier auf das Fundamentalsystem schließen ohne das
> wirkliche Intervall zu kennen?
>
> ciao, Mike.
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Ja wie gesagt das ist mir klar. Meine Frage bezog sich auf das Intervall auf dem die Lösungen existieren.
Ich habe das Intervall auf dem die DGL lösbar ist nicht gegeben. Es kann also sein, dass es außerhalb der Nullstellen von (ii) und (iii) liegt. Dann wären diese dort ein Fundamentalsystem oder?
Wenn [mm] I=(0,\infty) [/mm] dann könnte nur (i) das System sein oder verstehe ich da etwas falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Di 02.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Ja wie gesagt das ist mir klar. Meine Frage bezog sich auf
> das Intervall auf dem die Lösungen existieren.
>
> Ich habe das Intervall auf dem die DGL lösbar ist nicht
> gegeben. Es kann also sein, dass es außerhalb der
> Nullstellen von (ii) und (iii) liegt. Dann wären diese dort
> ein Fundamentalsystem oder?
>
> Wenn [mm]I=(0,\infty)[/mm] dann könnte nur (i) das System sein oder
> verstehe ich da etwas falsch?
Die Lösungen Deiner DGL existieren auf I = (0, [mm] \infty) [/mm] und auf I [mm] =(-\infty,0)
[/mm]
Es gilt: die Wronskidet. ist überall = 0 oder nirgendwo.
FRED
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Also dass die Lösung für x=0 nicht definiert ist sieht man ja, aber kann ich auf den ersten Blick sagen, dass sie gleich auf [mm] (0,\infty) [/mm] lösbar ist?
Ich erinnere mich an DGLs die recht harmlos erschienen, letzten Endes aber dann nur auf einem kleinen Intervall lösbar waren. Gilt das nicht für diese linearen DGLs?
Ich finde vor allem mein zweites Ergebnis komisch (dass laut Derive richtig ist). Das müsste ja dann auf ganz [mm] (0,\infty) [/mm] 0 sein, was es aber nicht ist?!
edit: ich glaub die zweite löst die dgl gar nicht :-/
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Hallo mikemodanoxxx,
> Also dass die Lösung für x=0 nicht definiert ist sieht man
> ja, aber kann ich auf den ersten Blick sagen, dass sie
> gleich auf [mm](0,\infty)[/mm] lösbar ist?
Kannst Du auch nicht.
Das fördert erst die Wronksideterminante zu Tage.
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> Ich erinnere mich an DGLs die recht harmlos erschienen,
> letzten Endes aber dann nur auf einem kleinen Intervall
> lösbar waren. Gilt das nicht für diese linearen DGLs?
>
> Ich finde vor allem mein zweites Ergebnis komisch (dass
> laut Derive richtig ist). Das müsste ja dann auf ganz
> [mm](0,\infty)[/mm] 0 sein, was es aber nicht ist?!
>
> edit: ich glaub die zweite löst die dgl gar nicht :-/
Genau so ist es.
Bemerkung: Die Lösung unter iii) läßt sich in die Lösung unter i) überführen.
Gruß
MathePower
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