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| Aufgabe | dgl y^(4)+8y^(2)+16y=0,
die lösungen aus [mm] \wurzel{-4} [/mm] lauten 2i,-2i,2i,-2i,
1.ich verstehe nicht, wo das "*x" bei den letzten beiden lösungen der folgenden zugehö. lsg. kommt. verstehe also ich nicht, wie man auf die vier lösungen kommt
{cos(2x), sin(2x), x*sin(2x), x*cos(2x)}
2. frage ich mich noch, ob jetzt diese vier Lösungen ein "Fundamentalsystem" bilden, oder ob nur diese [mm] "e^x-Term-Abfolge" [/mm] Fundamentalsystem heißt, durch die ich per "lambda-einsetzen" meine Lösungen finde....? |
Hallo, ich habe mir gerade ein Kapitel "Lineare DGL bel. ORdnung bei konstanten Koeffizienten" versucht so gut es ging, selbst beizubringen.
Jetzt habe ich eine kleine Verständnisfrage und hoffe, ihr versteht was ich meine.
Wenn ich eine homogene DGL, sagen wir 2.Ordnung lösen soll, gehe ich doch wie folgt vor (Ich schreibe das jetzt bewusst "unmathematisch", damit ich weiß, ob das was in meinem Kopf passiert und was in meinem Hefter steht, identisch ist, nicht schimpfen  :
ich bestimme ja die Nullstelle der DGL, also ..im prinzip gucke ich also, für welche Lambda die DGL =0.
bei mir im hefter steht, lambda ist DIE nullstelle, und sie ist m-fach(!).
das bedeutet ja, ich setze den gefundenen lambda wert von vorne angefangen im fundamentalsystem in soviele ausdrücke ein, wie die nullstelle vielfachheit hat, oder?diese werte sind dann alle lösungen der dgl
in meinem hefter steht: [mm] {e^{lambda*x}, x*e^{x*lambda}, x^{2}*e^{x*lambda},...} [/mm] sind die reellen (!) fundamentallösungen.
wenn aber die nullstelle nicht reell (also einfache zahl) ist, so ist sie komplex, und ich arbeite nicht(?) mit dem reellen fundamentalsystem, sondern ich setze das lamda in die terme [mm] e^{a*x}*cos [/mm] (bx) UND [mm] e^{a*x}*sin [/mm] (bx) ein, und DAS sind dann (anstatt des simplen) ausdrucks aus dem FS zwei (anstatt nur einer) weitere lösungen der DGL?? oder gehört [mm] e^{lambda*x} [/mm] garnicht zur berechnungsvorschrift der komplexen lösung(en) und ich muss immer den entsprechenden reellen lösungsausdruck aus o.g. system dafür verwenden und ihn nur mit cos (bx) UND einmal mit sin (bx) multiplizieren und das [mm] e^{lamda*x} [/mm] ist hier nur ein beispiel, falls meine komplexe lösung nur einfach ist?
bitte nicht einfach sagen "lies nach"...es ist so theorielastig, dass ich den puren rechenweg nicht verstehe. aber leider ist es das, um was es in sehr naher zukunft in der klausur geht...doof natürlich, aber ich kann mich (Momentan) noch nicht näher damit auseinandersetzen...die wollen noch nicht mal nen rechenweg....
vllt kann mir jmd meine fragen beantworten...
vielen dank
LZ
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Hallo Loewenzahn,
> dgl y^(4)+8y^(2)+16y=0,
> die lösungen aus [mm]\wurzel{-4}[/mm] lauten 2i,-2i,2i,-2i,
> 1.ich verstehe nicht, wo das "*x" bei den letzten beiden
> lösungen der folgenden zugehö. lsg. kommt. verstehe also
> ich nicht, wie man auf die vier lösungen kommt
> {cos(2x), sin(2x), x*sin(2x), x*cos(2x)}
Wenn die Nullstelle [mm]\lambda[/mm] die Vielfachheit r hat,
dann sind Lösungen:
[mm]x^{i}*e^{\lambda*x}, \ 0 \le i < r[/mm]
> 2. frage ich mich noch, ob jetzt diese vier Lösungen ein
> "Fundamentalsystem" bilden, oder ob nur diese
> [mm]"e^x-Term-Abfolge"[/mm] Fundamentalsystem heißt, durch die ich
> per "lambda-einsetzen" meine Lösungen finde....?
Diese Lösungen sind ein Fundamentalsystem.
> Hallo, ich habe mir gerade ein Kapitel "Lineare DGL bel.
> ORdnung bei konstanten Koeffizienten" versucht so gut es
> ging, selbst beizubringen.
>
> Jetzt habe ich eine kleine Verständnisfrage und hoffe, ihr
> versteht was ich meine.
> Wenn ich eine homogene DGL, sagen wir 2.Ordnung lösen
> soll, gehe ich doch wie folgt vor (Ich schreibe das jetzt
> bewusst "unmathematisch", damit ich weiß, ob das was in
> meinem Kopf passiert und was in meinem Hefter steht,
> identisch ist, nicht schimpfen :
>
> ich bestimme ja die Nullstelle der DGL, also ..im prinzip
> gucke ich also, für welche Lambda die DGL =0.
>
> bei mir im hefter steht, lambda ist DIE nullstelle, und sie
> ist m-fach(!).
>
> das bedeutet ja, ich setze den gefundenen lambda wert von
> vorne angefangen im fundamentalsystem in soviele ausdrücke
> ein, wie die nullstelle vielfachheit hat, oder?diese werte
> sind dann alle lösungen der dgl
Ja.
>
> in meinem hefter steht: [mm]{e^{lambda*x}, x*e^{x*lambda}, x^{2}*e^{x*lambda},...}[/mm]
> sind die reellen (!) fundamentallösungen.
>
> wenn aber die nullstelle nicht reell (also einfache zahl)
> ist, so ist sie komplex, und ich arbeite nicht(?) mit dem
> reellen fundamentalsystem, sondern ich setze das lamda in
> die terme [mm]e^{a*x}*cos[/mm] (bx) UND [mm]e^{a*x}*sin[/mm] (bx) ein, und
> DAS sind dann (anstatt des simplen) ausdrucks aus dem FS
> zwei (anstatt nur einer) weitere lösungen der DGL?? oder
> gehört [mm]e^{lambda*x}[/mm] garnicht zur berechnungsvorschrift der
> komplexen lösung(en) und ich muss immer den entsprechenden
> reellen lösungsausdruck aus o.g. system dafür verwenden
> und ihn nur mit cos (bx) UND einmal mit sin (bx)
> multiplizieren und das [mm]e^{lamda*x}[/mm] ist hier nur ein
> beispiel, falls meine komplexe lösung nur einfach ist?
Nun, die komplexe Lösung, erhältst Du auch aus dem Ansatz [mm]y=e^{\lambda*x}[/mm]
Jetzt hast Du eine komplexe Lösung der DGL gefunden.
Da die komplexe Lösung die DGL löst, sind auch
Real- und Imaginärteil Lösungen der DGL, weil
diese nur aus reellen Summanden besteht.
>
> bitte nicht einfach sagen "lies nach"...es ist so
> theorielastig, dass ich den puren rechenweg nicht verstehe.
> aber leider ist es das, um was es in sehr naher zukunft in
> der klausur geht...doof natürlich, aber ich kann mich
> (Momentan) noch nicht näher damit auseinandersetzen...die
> wollen noch nicht mal nen rechenweg....
> vllt kann mir jmd meine fragen beantworten...
> vielen dank
> LZ
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
Oh, vielen Dank MathePower für die schnelle Antwort und v.a. dafür, dass du diesen pseudomathematischen Wirrwarr durchgelesen hast und mir damit so endlich Klarheit verschafft hast
Damit wird das "Selber Aneignen" doch um einiges effizienter!
Grüße und Dank,
LZ
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