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Sei $X$ ein topologischer Raum und $A$ ein Teilraum. Ein Fundamentalsystem von Umgebungen von $A$ ist eine Familie von Umgebungen [mm] $U_i$ [/mm] von $A$ derart, dass jede Umgebung von $A$ ein [mm] $U_i$ [/mm] enthält. Ich möchte zeigen, dass [mm] $\IN\subseteq\IR$ [/mm] kein abzählbares Fundamentalsystem von Umgebungen besitzt.
Die Intuition ist ja irgendwie klar - für jeden Punkt brauche ich mindestens abzählbar viele Umgebungen und jetzt muss ich das aber für abzählbar viele isolierte Punkte gleichzeitig hinbekommen. Da liegt die Vermutung nahe, dass ich ebenso viele Umgebungen brauche, wie es Funktionen [mm] $\IN\to\IN$ [/mm] gibt. Vielleicht kann ich das Gegenteil annehmen und geschickt Diagonalfolgen auswählen, aber ich komme gerade auf keinen grünen Zweig. Hat jemand einen Tipp?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Mo 18.07.2016 | | Autor: | huddel |
Tip: anzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen sind wieder abzählbar. Ich würde es in deinem Fall straight forward machen und mir das Fundamentalsystem einfach definieren.
Wie wäre da dein Ansatz?
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Du möchtest die Behauptung widerlegen? Das offensichtlichste Fundamentalsystem besteht ja aus Mengen der Form [mm] $\bigcup_{n\in\IN}]n-1/a_n,n+1/a_n[$, [/mm] wobei [mm] $(a_n)$ [/mm] die Folgen [mm] $\IN\longrightarrow \IN_{>0}$ [/mm] durchläuft, aber dieses ist offenbar überabzählbar. Mir fällt auch beim besten Willen keine Möglichkeit ein, ein abzählbares Fundamentalsystem anzugeben, denn ich glaube ja, dass die Behauptung richtig ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 Mo 18.07.2016 | | Autor: | huddel |
Sorry, "kein" überlesen und jetzt wo ich länger darüber nachdenke, glaube ich auch, dass du recht hast. Alles was nun kommt ist noch nicht durchdacht und nur eine idee:
es muss ja für jede Umgebung von [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] gelten, dass diese ein Element aus dem Fundamentalsystem enthällt. Insbesondere auch alle Umgebungen der Form $ [mm] \bigcup_{n\in\mathbb{N}}(n+\frac{1}{a_n},n-\frac{1}{a_n}) [/mm] $, für [mm] $(a_n)$ [/mm] eine Folge [mm] $\mathbb{N} \to \mathbb{N}_{>0}$. [/mm] Das heißt dein Fundamentalsystem muss zumindest mal alle Folgen "Unterbieten". das heißt aber auch inbesondere, dass das Fundamentalsystem sich selbst "unterbieten" muss.
Daraus folgt erstmal noch nicht viel, aber vllt. hilfts a was :)
LG
Huddel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mi 20.07.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Mo 18.07.2016 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
https://books.google.de/books?id=tTuQBwAAQBAJ&pg=PA46&lpg=PA46&dq=Fundamentalsystem+von+Umgebungen&source=bl&ots=QQUrnB4dXs&sig=hOujwl4VBB9_8exXny3ixb7w5A8&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjiopiFuPzNAhXJaRQKHXNcAG0Q6AEIKjAB#v=onepage&q=Fundamentalsystem%20von%20Umgebungen&f=false
FRED
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