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| Aufgabe | y''-2y'=0
Schreiben Sie diese Differentialgleichung in ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung um, und bestimmen Sie das Fundamentalsystem. |
Hallöchen
ich benötige bei der obigen Aufgabe Hilfe. Den ersten Teil habe ich hinbekommen. Ich weiß aber nicht wie ich das Fundamentalsystem bestiime.
Also das DGl 1. Ordnung lautet ja:
[mm] \vektor{y_{0}' \\ y_{1}'}=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 2 }\vektor{y_{0} \\ y_{1}}
[/mm]
Für die Matrix erhalte ich nun die Eigenwert 0 und 2
mit dem Eigenvektor [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] zum EW 0 und [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] zum EW 2. Aber wie bekomme ich nun hierraus mein Fundamentalsystem kann mir das jemand erklären?
LG Schmetterfee
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Hallo Schmetterfee,
> y''-2y'=0
> Schreiben Sie diese Differentialgleichung in ein System
> von Differentialgleichungen erster Ordnung um, und
> bestimmen Sie das Fundamentalsystem.
> Hallöchen
>
> ich benötige bei der obigen Aufgabe Hilfe. Den ersten Teil
> habe ich hinbekommen. Ich weiß aber nicht wie ich das
> Fundamentalsystem bestiime.
>
> Also das DGl 1. Ordnung lautet ja:
> [mm]\vektor{y_{0}' \\ y_{1}'}=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 2 }\vektor{y_{0} \\ y_{1}}[/mm]
>
> Für die Matrix erhalte ich nun die Eigenwert 0 und 2
>
> mit dem Eigenvektor [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] zum EW 0 und [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> zum EW 2. Aber wie bekomme ich nun hierraus mein
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Fundamentalsystem kann mir das jemand erklären?
Damit ergeben sich die Lösungen
[mm]\pmat{1 \\ 0}*e^{0*x}, \ \pmat{1 \\ 2}*e^{2*x}[/mm]
Um ein Fundamentalsystem daraus zu basteln,
schreibst Du diese Lösungen in eine Matrix.
>
> LG Schmetterfee
Gruss
MathePower
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Hallöchen
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> > y''-2y'=0
> > Schreiben Sie diese Differentialgleichung in ein System
> > von Differentialgleichungen erster Ordnung um, und
> > bestimmen Sie das Fundamentalsystem.
> > Hallöchen
> >
> > ich benötige bei der obigen Aufgabe Hilfe. Den ersten Teil
> > habe ich hinbekommen. Ich weiß aber nicht wie ich das
> > Fundamentalsystem bestiime.
> >
> > Also das DGl 1. Ordnung lautet ja:
> > [mm]\vektor{y_{0}' \\ y_{1}'}=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 2 }\vektor{y_{0} \\ y_{1}}[/mm]
>
ich habe für die Umformung [mm] y_{0}=y [/mm] und [mm] y_{1}=y'=y_{0}'
[/mm]
gesetzt..macht man das immer so? wir hatten das nämlich nur theoretisch in der vorlesung..oder ist das von fall zu fall unterschiedlich?
> >
> > Für die Matrix erhalte ich nun die Eigenwert 0 und 2
> >
> > mit dem Eigenvektor [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] zum EW 0 und [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> > zum EW 2. Aber wie bekomme ich nun hierraus mein
>
>
>
>
>
> > Fundamentalsystem kann mir das jemand erklären?
>
>
> Damit ergeben sich die Lösungen
>
> [mm]\pmat{1 \\ 0}*e^{0*x}, \ \pmat{1 \\ 2}*e^{2*x}[/mm]
>
> Um ein Fundamentalsystem daraus zu basteln,
> schreibst Du diese Lösungen in eine Matrix.
>
erstmal ganz großen Dank für die schnelle Antwort dann wäre mein Fundamentalsystem also:
[mm] \pmat{ e^{0*x} & e^{2*x} \\ 0 & 2e^{2*x} }=\pmat{ 1 & e^{2*x} \\ 0 & 2e^{2*x} }
[/mm]
oder?
und was hätte ich jetzt gemacht wenn ein EW doppelt aufgetreten wäre?...Ich habe das nur theoretisch im Buch gelesen und verstehe das nicht ganz...
LG Schmetterfee
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Hallo Schmetterfee,
> Hallöchen
> >
> > > y''-2y'=0
> > > Schreiben Sie diese Differentialgleichung in ein
> System
> > > von Differentialgleichungen erster Ordnung um, und
> > > bestimmen Sie das Fundamentalsystem.
> > > Hallöchen
> > >
> > > ich benötige bei der obigen Aufgabe Hilfe. Den ersten Teil
> > > habe ich hinbekommen. Ich weiß aber nicht wie ich das
> > > Fundamentalsystem bestiime.
> > >
> > > Also das DGl 1. Ordnung lautet ja:
> > > [mm]\vektor{y_{0}' \\ y_{1}'}=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 2 }\vektor{y_{0} \\ y_{1}}[/mm]
>
> >
>
> ich habe für die Umformung [mm]y_{0}=y[/mm] und [mm]y_{1}=y'=y_{0}'[/mm]
> gesetzt..macht man das immer so? wir hatten das nämlich
> nur theoretisch in der vorlesung..oder ist das von fall zu
> fall unterschiedlich?
> > >
> > > Für die Matrix erhalte ich nun die Eigenwert 0 und 2
> > >
> > > mit dem Eigenvektor [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] zum EW 0 und [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> > > zum EW 2. Aber wie bekomme ich nun hierraus mein
> >
> >
> >
> >
> >
> > > Fundamentalsystem kann mir das jemand erklären?
> >
> >
> > Damit ergeben sich die Lösungen
> >
> > [mm]\pmat{1 \\ 0}*e^{0*x}, \ \pmat{1 \\ 2}*e^{2*x}[/mm]
> >
> > Um ein Fundamentalsystem daraus zu basteln,
> > schreibst Du diese Lösungen in eine Matrix.
> >
> erstmal ganz großen Dank für die schnelle Antwort dann
> wäre mein Fundamentalsystem also:
>
> [mm]\pmat{ e^{0*x} & e^{2*x} \\ 0 & 2e^{2*x} }=\pmat{ 1 & e^{2*x} \\ 0 & 2e^{2*x} }[/mm]
>
> oder?
Ja.
>
> und was hätte ich jetzt gemacht wenn ein EW doppelt
> aufgetreten wäre?...Ich habe das nur theoretisch im Buch
> gelesen und verstehe das nicht ganz...
Ist u dieser doppelte Eigenwert, und [mm]\vec{c}[/mm] ein Eigenvektor
zu diesem Eigenwert, dann lautet die erste Lösung:
[mm]\vec{c}*e^{u*x}[/mm]
Für die zweite linear unabhängige Lösung
machst Du dann den Ansatz
[mm]\left(\vec{a}+x*\vec{b}\right)*e^{u*x}[/mm]
Durch Einsetzen in das DGL-System und
anschließendem Koeffizientenvergleich
ergeben sich schließlich Bedingungsgleichungen
für [mm]\vec{a}, \ \vec{b}[/mm].
>
> LG Schmetterfee
Gruss
MathePower
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Hallöchen
okay jetzt habe ich es verstanden..danke schön^^
LG Schmetterfee
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