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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Mi 02.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Hi,
habe eher eine Verständnisfrage.... Es geht um die Funktion
[mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit [mm] g(x)=\bruch{x}{1+x^2}
[/mm]
Was ist nun mit [mm] f(\IR)\subseteq [-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}] [/mm] gemeint?
Das möchte ich nämlich zeigen, weiß aber nicht was verlangt wird bzw. was
zu zeigen ist.
Danke
MFG
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Hallo!
Das bedeutet, daß der Wertebereich der Funktion eben dieses Intervall ist.
Genauer:
Das [mm] \IR [/mm] in der Funktion bedeutet, daß alle reellen Zahlen in die Funktion eingesetzt werden. Heraus kommt dann nicht ein Funktionswert, sondern eine Menge an Funktionswerten. Und da der gesamte Definitionsbereich eingesetzt wird, kommt als Ergebnis quasi die "Wertemenge" heraus, die ist (Teil)menge des Wertebereiches.
Warum nur Teilmenge? Nunja, es könnte z.B. eine Definitionslücke drin geben. Wenn du die Formel mit x erweiterst, sieht die Funktion noch genauso aus, allerdings existiert f(0) dann nicht mehr. Demnach wäre y=0 auch nicht mehr Element der Wertemenge.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mi 02.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Ok, das heisst also, dass ich für x jedes Element aus [mm] \IR [/mm] nehmen kann, ihn in f einsetze und y dann immer einen Wert zwischen -0,5 und 0,5 erhalte. Also sagt das im Grunde nicht mehr aus, als dass die Extremwerte der Funktion bei -0,5 und 0,5 liegen und f gegen 0 geht. Sehe ich das richtig? Auf welche Weise kann man denn sowas am besten veranschaulichen bzw. beweisen?
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Mi 02.05.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Ok, das heisst also, dass ich für x jedes Element aus [mm]\IR[/mm]
> nehmen kann, ihn in f einsetze und y dann immer einen Wert
> zwischen -0,5 und 0,5 erhalte. Also sagt das im Grunde
> nicht mehr aus, als dass die Extremwerte der Funktion bei
> -0,5 und 0,5 liegen und f gegen 0 geht. Sehe ich das
> richtig? Auf welche Weise kann man denn sowas am besten
> veranschaulichen bzw. beweisen?
Versuch es doch einmal, indem du nach Hoch- und Tiefpunkten suchst. Also Extrema, wie du oben bereits erwähnst.
Wenn du als Maximum [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und als Minimum [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] erhälst, weißt du, dass die anderen Werte aus [mm] \IR [/mm] zwischen den beiden Extremwerten liegen müssen!
Sollte das nicht der Fall sein, kann man, da man ganz [mm] \IR [/mm] betrachtet,den [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] bzw. [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} [/mm] laufen lassen.
Aber soweit ich das sehe, ist das hier nicht notwendig; du kannst über Extremstellen zeigen, dass
$ [mm] f(\IR)\subseteq [-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}] [/mm] $.
MfG
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Nun, bei sowas muß man aber auch auf Pole und Sprünge aufpassen, denn z.B. 1/x hat keine Extrema, der Limes ist 0, aber der Wertebereich ist dennoch [mm] \IR [/mm] (In der Wertemenge fehlt aber die 0!)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Mi 02.05.2007 | | Autor: | barsch |
Die Einwände von Even_Horizon sind berechtigt, hier aber nicht relevant.
Berechnen wir mittels Quotientenregel einmal die Ableitung:
[mm] f'(x)=\bruch{(1+x^{2})-x\*2x}{(1+x^{2})^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1+x^{2}-2x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}
[/mm]
Um jetzt die Extremstellen zu berechnen:
f'(x)=0 [mm] \gdw x_{1}=1 [/mm] v [mm] x_{2}=(-1).
[/mm]
Einmal abgesehen davon, welcher Punkt jetzt Tief- und welcher Hochpunkt ist, gibt es zwei Punkte, die den Graphen nach oben bzw. nach unten begrenzen.
Setzt du [mm] x_{1}=1 [/mm] v [mm] x_{2}=(-1) [/mm] in f(x) ein, erhälst du einmal [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und einmal [mm] -\bruch{1}{2}.
[/mm]
Also [mm] f(\IR)\subseteq[-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}]
[/mm]
MfG
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