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| Aufgabe | gegeben ist f: R [mm] \to [/mm] R; [mm] f(x)=\begin{cases} x^{2}*e^{2}, & \mbox{für } x\in (0; \bruch{1}{2}) \\ \bruch{x}{2}*exp(\bruch{1}{x}), & \mbox{} sonst \end{cases}
[/mm]
das Intervall sind eigentlich eckige Klammern
a) Berechnen Sie die Grenzwerte [mm] \limes_{x\to0-} \bruch{1}{x}*exp(\bruch{1}{x}) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x)!
b) Begründen Sie, dass f überall stetig ist!
c) Begründen Sie, dass f für x=0 differenzierbar ist, aber nicht für [mm] x=\bruch{1}{2} [/mm] !
d) Berechnen Sie f´(x) für [mm] x\in [/mm] R\ {0; [mm] \bruch{1}{2}\} [/mm] !
e) Geben Sie alle relativen Extremwerte von f an, falls solche existieren!
f) Geben Sie die Monotonieintervall von f an!
g) Skizzieren Sie f! |
Guten Abend in den matheraum
a)
[mm] \limes_{x\to0-} \bruch{1}{x}*exp(\bruch{1}{x})=-\infty*1=-\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} f(x)=\infty*1=\infty
[/mm]
der 1. Grenzwert scheint mir wenig Bezug zur Aufgabe zu haben. könnte gemeint sein
[mm] \limes_{x\to0-} \bruch{x}{2}*exp(\bruch{1}{x})=0*1=0? [/mm] wird ja bei b) gebraucht
b)
f ist stetig, weil an der Stelle x=0 der links- und rechtsseitige Grenzwert 0 ist und an der Stelle x=0,5 der links- und rechtsseitige Grenzwert [mm] 0,25*e^{2} [/mm] ist, wie kann ich das mathematisch sauber aufschreiben?
c)
hier habe ich leider keine richtige Idee
d)
hier denke ich, Produktregel führt zum Ziel
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}*e^{\bruch{1}{x}}-\bruch{x}{2}*\bruch{e^{\bruch{1}{x}}}{x^{2}}
[/mm]
x kann ich noch kürzen
e)
f'(x)=0
[mm] 0=\bruch{e^{\bruch{1}{x}}(x-1)}{2x}
[/mm]
x=1 ist ein relativer Extremwert, nach Minimum oder Maximum ist ja nicht gefragt
was passiert an den Stellen x=0 und [mm] x=\bruch{1}{2}?
[/mm]
f)
monoton steigend: [mm] )-\infty; \bruch{1}{2}( [/mm] und )1; [mm] \infty(
[/mm]
monoton fallend: [mm] )\bruch{1}{2}; [/mm] 1(
die runden Klammern sollen eckige Klammern sein
hier bin ich mir mit der 0, [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und 1, den Intervallgrenzen unsicher, habe ich die Klammern so richtig gesetzt?
g)
habe ich
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Ein Bild sagt mehr als tausend Worte ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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> gegeben ist f: R [mm]\to[/mm] R; [mm]f(x)=\begin{cases} x^{2}*e^{2}, & \mbox{für } x\in [0; \bruch{1}{2}] \\ \bruch{x}{2}*exp(\bruch{1}{x}), & \mbox{} sonst \end{cases}[/mm]
>
>
> a) Berechnen Sie die Grenzwerte [mm]\limes_{x\to0-} \bruch{1}{x}*exp(\bruch{1}{x})[/mm]
> und [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x)!
>
> b) Begründen Sie, dass f überall stetig ist!
>
> c) Begründen Sie, dass f für x=0 differenzierbar ist, aber
> nicht für [mm]x=\bruch{1}{2}[/mm] !
>
> d) Berechnen Sie f´(x) für [mm]x\in[/mm] R\ [mm] \{0;\bruch{1}{2}\}!
[/mm]
>
> e) Geben Sie alle relativen Extremwerte von f an, falls
> solche existieren!
>
> f) Geben Sie die Monotonieintervall von f an!
>
> g) Skizzieren Sie f!
Hallo,
vieles beantwortet sich in der Tat mit einem Blick auf den Graphen.
>
> a)
> der 1. Grenzwert scheint mir wenig Bezug zur Aufgabe zu
> haben. könnte gemeint sein
>
> [mm]\limes_{x\to0-} \bruch{x}{2}*exp(\bruch{1}{x})=0*1=0?[/mm] wird
> ja bei b) gebraucht
Bestimmt war der gemeint.
>
> b)
>
> f ist stetig, weil an der Stelle x=0 der links- und
> rechtsseitige Grenzwert 0 ist und an der Stelle x=0,5 der
> links- und rechtsseitige Grenzwert [mm]0,25*e^{2}[/mm] ist, wie kann
> ich das mathematisch sauber aufschreiben?
[mm] \limes_{x\to 0-} [/mm] f(x)=...
[mm] \limes_{x\to 0+} [/mm] f(x)=...,
also ist [mm] lim\limes_{x\to 0} [/mm] f(x)=f(0), daher stetig.
Für [mm] x=\bruch{1}{2} [/mm] analog.
>
> c)
>
> hier habe ich leider keine richtige Idee
Ich nehme an, daß Du hier mit dem Differentialquotienten arbeiten sollst.
Oder Du machst erst Aufg. d) und betrachtest dann die Grenzwerte der Ableitungen v. links und von rechts.
>
> d)
>
> hier denke ich, Produktregel führt zum Ziel
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{2}*e^{\bruch{1}{x}}-\bruch{x}{2}*\bruch{e^{\bruch{1}{x}}}{x^{2}}[/mm]
>
> x kann ich noch kürzen
Und das andere Intervall?
>
> e)
>
> f'(x)=0
>
> [mm]0=\bruch{e^{\bruch{1}{x}}(x-1)}{2x}[/mm]
>
> x=1 ist ein relativer Extremwert, nach Minimum oder Maximum
> ist ja nicht gefragt
>
> was passiert an den Stellen x=0 und [mm]x=\bruch{1}{2}?[/mm]
Guck Dir das Bild an und überlege Dir außerdem, wie "Extremwert" definiert ist.
>
> f)
>
> monoton steigend: [mm])-\infty; \bruch{1}{2}([/mm] und )1; [mm]\infty([/mm]
>
> monoton fallend: [mm])\bruch{1}{2};[/mm] 1(
>
> die runden Klammern sollen eckige Klammern sein
>
> hier bin ich mir mit der 0, [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und 1, den
> Intervallgrenzen unsicher, habe ich die Klammern so richtig
> gesetzt?
Wie ist monoton wachsend/fallend definiert?
Entscheide Dich anhand der Defintion.
Gruß v. Angela
>
> g)
>
> habe ich
>
>
>
>
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>
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Danke Angela für die vielen Hinweise, besser als fertige Lösungen,
den Graph hatte ich ja schon, in der Tat habe ich erst d) gelöst, dann c), also Grenzwerte der 1. Ableitung
so meine weiteren Überlegungen:
x=0 kein Extremwert sondern Wendepunkt
x=0,5 relativer Extremwert
an der Stelle x=0 ist die Funktion monoton steigend
monoton steigend [mm] )-\infty; [/mm] 0,5) und (1; [mm] \infty(
[/mm]
monoton fallend (0,5; 1)
die runden Klammern sind eigentlich eckige Klammern, die 0,5 und 1 gehören also zum Intervall dazu (wie setze ich eigentlich eckige Klammern?)
wo ich mir komplett unsicher bin, Angela spricht von der Ableitung im anderen Intervall, der Bereich 0 bis 0,5 ist doch aber laut Aufgabenstellung nicht gefordert, welche Ableitung sollte denn noch fehlen?
So ich denke wenn die letzten Überlegungen geklärt sind und meine noch offene Frage ist mir die Aufgabe richtig klar, Danke an Euch Zwinkerlippe
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> x=0 kein Extremwert sondern Wendepunkt
> x=0,5 relativer Extremwert
Hallo,
genau.
>
> an der Stelle x=0 ist die Funktion monoton steigend
Ist monoton steigend für einzelne Stellen definiert?
Nee, oder? Sondern für Teilmengen des Definitionsbereiches, und das Steigungsverhalten der Funktion auf der Menge [mm] \{0\} [/mm] zu untersuchen, ist doch eher nicht so nahrhaft.
Naja, wahrscheinlich willst Du sagen, daß die Steigung der Funktion f an der Stelle 0 gleich Null ist, und daß das der Monotonie der Funktion nicht entgegensteht - oder so ähnlich.
Nur zur Sicherheit: Dir ist klar, daß die Def. der Monotonie nichts mit Ableitungen zu tun hat?
> monoton steigend [mm])-\infty;[/mm] 0,5) und (1; [mm]\infty([/mm]
> monoton fallend (0,5; 1)
Ja.
>
> die runden Klammern sind eigentlich eckige Klammern, die
> 0,5 und 1 gehören also zum Intervall dazu (wie setze ich
> eigentlich eckige Klammern)
Auf meinen Tastaturen ist sind die eckigen Klammern unten auf den Tasten von 8 und 9, bzw. rechts neben der 8 und 9.
Man muß gleichzeitig die "Alt Gr"-Taste rechts neben der Leertaste drücken.
> wo ich mir komplett unsicher bin, Angela spricht von der
> Ableitung im anderen Intervall, der Bereich 0 bis 0,5 ist
> doch aber laut Aufgabenstellung nicht gefordert, welche
> Ableitung sollte denn noch fehlen?
Da steht:
"Berechnen Sie f´(x) für $ [mm] x\in [/mm] $ R \ [mm] \{0; \bruch{1}{2} \} [/mm] "
[mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0; \bruch{1}{2} \} [/mm] ist die komplette Menge [mm] \IR [/mm] mit Ausnahme der 0 und der [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Die wollen die Ableitung im Intervall [mm] ]0,\bruch{1}{2}[ [/mm] auch wissen - kann man's ihnen verdenken?
Gruß v. Angela
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Danke Angela
die Stelle x=0 liegt ja im Intervall monoton steigend [mm] ]-\infty; [/mm] 0,5], klar an einer Stelle kann ich keine Monotonie untersuchen, ich habe in der Aufgabenstellung geschweifte und eckige Klammern verwechselt, somit ist die fehlende Ableitung noch [mm] 2*e^{2}*x, [/mm] ich verbleibe mit mathematischen Grüßen, Zwinkerlippe
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