Funktion - Konvex oder Konkav? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mo 24.05.2010 | | Autor: | tumas |
(1) f(x,y) [mm] =x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}
[/mm]
Nun möchte ich beide Funktionen untersuchen, um zu sehen ob sie konvex oder konkav sind.
Ich gehe davon aus, dass die Funktion konvex ist, wenn sie zwei mal differenzierbar ist und es gilt f'' [mm] \ge [/mm] 0. Andereseits ist die Funktion konkav, wenn f'' [mm] \le [/mm] 0
Ist dies zunächst richtig, wenn dem so ist würde ich nun für Funktion (1) partiell ableiten zu:
[mm] \bruch{\partial f(x,y) }{\partial x} [/mm] = 2x
[mm] \bruch{\partial^{2} f(x,y) }{\partial^{2} x} [/mm] = 2
Nun das ganze für y
[mm] \bruch{\partial f(x,y) }{\partial y} [/mm] = 2y
[mm] \bruch{\partial^{2} f(x,y) }{\partial^{2} y} [/mm] = 2
Nun müsste ich doch den Quotienten bilden von
[mm] \bruch{\bruch{\partial f(x,y) }{\partial x}}{\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}} [/mm] = [mm] \bruch{2x}{2y}
[/mm]
Nun muss ich dies nochmals ableiten, nach y, oder?:
[mm] \bruch{2x}{2y} [/mm] = [mm] 2x*2y^{-1}= -1(*2x*2y)^{-2} [/mm] = - [mm] \bruch{2x}{2y^{2}}
[/mm]
Wobei - [mm] \bruch{2x}{2y^{2}} \le [/mm] 0 und demensprechend ist die funktion konkav, richtig ? Muss ich nun nochmal nach x ableiten um dies zu bestätigen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Mo 24.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hast du denn eine Definition von konkav für 2 d Funktionen?
Hast du eine Idee wie f(x,y) als "Gebirge" bzw als Fläche aussieht?
Was du da machst ist ein falsches übertragen von 2d nach 2 bzw 3d
f', f'' macht keinen Sinn für ne fkt von [mm] \IR^2 [/mm] nach [mm] \IR
[/mm]
warum sprichst du von 2 Funktionen,
Was ist die genaue Augabe?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Mo 24.05.2010 | | Autor: | tumas |
Vielen Dank Leduart für deine Antwort. Ich soll zeigen, ob
f(x,y) = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] konkav oder konvex ist.
zu deiner Frage als "Gebirge" stelle ich mir das wie einen Berg vor der ansteigt. Wobei dieser Berg auf dem Kopf steht. Schwierig zu erklären.
Bin ich denn total auf dem falschen Weg ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Mo 24.05.2010 | | Autor: | tumas |
Von der Seite sieht es aus wie eine Parabel - [mm] x^{2}, [/mm] wenn es konkav ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Mo 24.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] z=x^2+y^2 [/mm] ist ein Rotationsparaboloid nach oben geöffnet.
ist also so konvex oder konkav wie im 1d [mm] y=+x^2
[/mm]
rechnerisch brauchst du die Hessematrix, wenn die pos definit ist ist es entsprechend f''>0 ..
(ich verwechsel immer was das jeweilige Buch konvex oder konkav nennt) das musst du also wissen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Mo 24.05.2010 | | Autor: | tumas |
H= [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
Hallo habe ich die Hessematrix korrekt aufgestellt ?
Wie geht es nun weiter, muss ich die Determinante berechnen ? Also:
det H = 2*2 - 0*0 = 4
und nun ist f'' > 0 deshalb konkav , ist das korrekt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 Mo 24.05.2010 | | Autor: | tumas |
Bzw. alle Hauptminoren sind positiv, und das bedeutet das die funktion positiv definit ist und somit konvex sehe ich gerade oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mo 24.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Matrix ist richtig, ihre Eigenwerte >0 also pos definit.
damit konkav. Aber f'' gibts noch immer nicht, gewöhn dir b, sowas für 2 d funktionen zu schreiben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mo 24.05.2010 | | Autor: | tumas |
Jetzt bin ich unsicher, konvex oder konkav?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Mo 24.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo sie ist wie die Parabel [mm] y=x^2
[/mm]
und wie ihr das nennt musst du wissen. ich hatte dich schon im 1. post nach eurer Def. gefragt.
Gruss leduart
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