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Funktion 4. Grades: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 Sa 04.05.2013
Autor: basti500

Aufgabe
1. Der Graph G(f) einer ganzrationalen Funktion 4. Grades f hat im Koordinatenursprung einen Terassenpunkt und im Punkt P(3|-3) ein Extremum.
Der Graph G(p) einer ganzrationalen Funktion 2. Grades berührt den Graphen G(f) im Punkt P(3|-3) und schneidet ihn im Punkt Q(0|0)
a) Ermitteln Sie durch Rechnung die Funktionsgleichung von f.

Hallo zusammen,

meine erster Beitrag und gleich eine Frage.

Wenn ich die Funktionsgleichungen aufstelle, dann würde ich die Aufgabe folgendermaßen lösen:

f(3) = -3
f'(0) = 0
f(0) = 0
f'(3) = 0
f''(-2) = 0

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
f'(x) = 4ax³ + 3bx² + cx + d
f''(x) = 12ax² + 6bx + c

Dann einsetzen und rechnen.

In der Lösung steht aber folgendes:
Dreifache NST bei x = 0:
f(x) = ax⁴ + bx³;
f'(x) = 4ax³ + 3bx²
f''(x) = 12ax² + 6bx

Warum kann cx² + dx + e gleich von vornherein weglassen? Was hat sich mit der dreifachen NST aufsich, warum ist diese Info wichtig?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Funktion 4. Grades: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 Sa 04.05.2013
Autor: Diophant

Hallo und

[willkommenmr]

> 1. Der Graph G(f) einer ganzrationalen Funktion 4. Grades f
> hat im Koordinatenursprung einen Terassenpunkt und im Punkt
> P(3|-3) ein Extremum.
> Der Graph G(p) einer ganzrationalen Funktion 2. Grades
> berührt den Graphen G(f) im Punkt P(3|-3) und schneidet
> ihn im Punkt Q(0|0)
> a) Ermitteln Sie durch Rechnung die Funktionsgleichung von
> f.
> Hallo zusammen,

>

> meine erster Beitrag und gleich eine Frage.

>

> Wenn ich die Funktionsgleichungen aufstelle, dann würde
> ich die Aufgabe folgendermaßen lösen:

>

> f(3) = -3
> f'(0) = 0
> f(0) = 0
> f'(3) = 0
> f''(-2) = 0

Ist die letzte Zeile ein Tippfehler? Das sollte f''(0)=0 heißen und beantwortet deine Frage weiter unten eigentlich schon. 

>

> f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
> f'(x) = 4ax³ + 3bx² + cx + d
> f''(x) = 12ax² + 6bx + c

>

> Dann einsetzen und rechnen.

>

> In der Lösung steht aber folgendes:
> Dreifache NST bei x = 0:
> f(x) = ax⁴ + bx³;
> f'(x) = 4ax³ + 3bx²
> f''(x) = 12ax² + 6bx

>

> Warum kann cx² + dx + e gleich von vornherein weglassen?

Es ist f(0)=0, daraus folgt sofort e=0. Ebenso sieht man leicht ein, dass dir Forderungen f'(0)=0 und f''(0)=0 auf d=c=0 führen.

> Was hat sich mit der dreifachen NST aufsich, warum ist
> diese Info wichtig?

Daraus kann man den Sachverhalt mit den Koeffizienten noch schneller ersehen, im Prinzip, ohne eine Zeile zu rechnen. Damit eine algebraische Gleichung die Dreifachlösung

[mm] x_{1;2;3}=0 [/mm]

besitzen kann, muss zwangsläufig die kleinste Potenz, in der die Variable vorkommt, die dritte Potenz sein, denn man muss von dem Polynom ja [mm] x^3 [/mm] abspalten können.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Funktion 4. Grades: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:22 Sa 04.05.2013
Autor: basti500


>  > Hallo zusammen,

>  >
>  > meine erster Beitrag und gleich eine Frage.

>  >
>  > Wenn ich die Funktionsgleichungen aufstelle, dann

> würde
>  > ich die Aufgabe folgendermaßen lösen:

>  >
>  > f(3) = -3

>  > f'(0) = 0

>  > f(0) = 0

>  > f'(3) = 0

>  > f''(-2) = 0

>  
> Ist die letzte Zeile ein Tippfehler? Das sollte f''(0)=0
> heißen und beantwortet deine Frage weiter unten eigentlich
> schon. 
>  

Ich habe mit meiner Angabe gerechnet.

> >
>  > f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

>  > f'(x) = 4ax³ + 3bx² + cx + d

>  > f''(x) = 12ax² + 6bx + c

>  >
>  > Dann einsetzen und rechnen.

>  >
>  > In der Lösung steht aber folgendes:

>  > Dreifache NST bei x = 0:

>  > f(x) = ax⁴ + bx³;

>  > f'(x) = 4ax³ + 3bx²

>  > f''(x) = 12ax² + 6bx

>  >
>  > Warum kann cx² + dx + e gleich von vornherein

> weglassen?
>  
> Es ist f(0)=0, daraus folgt sofort e=0. Ebenso sieht man
> leicht ein, dass dir Forderungen f'(0)=0 und f''(0)=0 auf
> d=c=0 führen.

Wenn ich f''(0)=0 setze funktioniert es, da Terassenpunkt (0|0) => Wendepunkt => f''(0) = 0

> > Was hat sich mit der dreifachen NST aufsich, warum ist
>  > diese Info wichtig?

>  
> Daraus kann man den Sachverhalt mit den Koeffizienten noch
> schneller ersehen, im Prinzip, ohne eine Zeile zu rechnen.
> Damit eine algebraische Gleichung die Dreifachlösung
>  
> [mm]x_{1;2;3}=0[/mm]
>  
> besitzen kann, muss zwangsläufig die kleinste Potenz, in
> der die Variable vorkommt, die dritte Potenz sein, denn man
> muss von dem Polynom ja [mm]x^3[/mm] abspalten können.
>  

Die Antwort leuchtet mir leider überhaupt nicht ein.


Bezug
                        
Bezug
Funktion 4. Grades: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 Sa 04.05.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> > > f''(-2) = 0
> >
> > Ist die letzte Zeile ein Tippfehler? Das sollte f''(0)=0
> > heißen und beantwortet deine Frage weiter unten eigentlich
> > schon. 
> >
> Ich habe mit meiner Angabe gerechnet.

mit welocher 'Angabe', wo kommt die ominöse -2 her???

> > >
> > > f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
> > > f'(x) = 4ax³ + 3bx² + cx + d
> > > f''(x) = 12ax² + 6bx + c
> > >
> > > Dann einsetzen und rechnen.
> > >
> > > In der Lösung steht aber folgendes:
> > > Dreifache NST bei x = 0:
> > > f(x) = ax⁴ + bx³;
> > > f'(x) = 4ax³ + 3bx²
> > > f''(x) = 12ax² + 6bx
> > >
> > > Warum kann cx² + dx + e gleich von vornherein
> > weglassen?
> >
> > Es ist f(0)=0, daraus folgt sofort e=0. Ebenso sieht man
> > leicht ein, dass dir Forderungen f'(0)=0 und f''(0)=0 auf
> > d=c=0 führen.

>

> Wenn ich f''(0)=0 setze funktioniert es, da Terassenpunkt
> (0|0) => Wendepunkt => f''(0) = 0

>

> > > Was hat sich mit der dreifachen NST aufsich, warum ist
> > > diese Info wichtig?
> >
> > Daraus kann man den Sachverhalt mit den Koeffizienten noch
> > schneller ersehen, im Prinzip, ohne eine Zeile zu rechnen.
> > Damit eine algebraische Gleichung die Dreifachlösung
> >
> > [mm]x_{1;2;3}=0[/mm]
> >
> > besitzen kann, muss zwangsläufig die kleinste Potenz, in
> > der die Variable vorkommt, die dritte Potenz sein, denn man
> > muss von dem Polynom ja [mm]x^3[/mm] abspalten können.
> >

>

> Die Antwort leuchtet mir leider überhaupt nicht ein.

Dann wirst du das präzisieren müssen, was dir daran nicht einleuchtet. Denn Hellsehen kann hier leider niemand.

Ein Stichwort wäre der Satz vom Nullprodukt, da hatte ich vorhin einfach mal vorausgesetzt, dass der bekannt ist, wenn man sich mit ganzrationalen Funktionen beschäftigt.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Funktion 4. Grades: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Sa 04.05.2013
Autor: basti500


> Hallo,
>  
> > > > f''(-2) = 0
>  > >

>  > > Ist die letzte Zeile ein Tippfehler? Das sollte

> f''(0)=0
>  > > heißen und beantwortet deine Frage weiter unten

> eigentlich
>  > > schon. 

>  > >

>  > Ich habe mit meiner Angabe gerechnet.

>  
> mit welocher 'Angabe', wo kommt die ominöse -2 her???
>  

Das war ein Denkfehler von mir. Es ist klar, dass es f''(0)=0 heißen muss.

> > > >
>  > > > f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

>  > > > f'(x) = 4ax³ + 3bx² + cx + d

>  > > > f''(x) = 12ax² + 6bx + c

>  > > >

>  > > > Dann einsetzen und rechnen.

>  > > >

>  > > > In der Lösung steht aber folgendes:

>  > > > Dreifache NST bei x = 0:

>  > > > f(x) = ax⁴ + bx³;

>  > > > f'(x) = 4ax³ + 3bx²

>  > > > f''(x) = 12ax² + 6bx

>  > > >

>  > > > Warum kann cx² + dx + e gleich von vornherein

>  > > weglassen?

>  > >

>  > > Es ist f(0)=0, daraus folgt sofort e=0. Ebenso sieht

> man
>  > > leicht ein, dass dir Forderungen f'(0)=0 und f''(0)=0

> auf
>  > > d=c=0 führen.

>  >
>  > Wenn ich f''(0)=0 setze funktioniert es, da

> Terassenpunkt
>  > (0|0) => Wendepunkt => f''(0) = 0

>  >
>  > > > Was hat sich mit der dreifachen NST aufsich, warum

> ist
>  > > > diese Info wichtig?

>  > >

>  > > Daraus kann man den Sachverhalt mit den Koeffizienten

> noch
>  > > schneller ersehen, im Prinzip, ohne eine Zeile zu

> rechnen.
>  > > Damit eine algebraische Gleichung die Dreifachlösung

>  > >

>  > > [mm]x_{1;2;3}=0[/mm]

>  > >

>  > > besitzen kann, muss zwangsläufig die kleinste Potenz,

> in
>  > > der die Variable vorkommt, die dritte Potenz sein,

> denn man
>  > > muss von dem Polynom ja [mm]x^3[/mm] abspalten können.

>  > >

>  >
>  > Die Antwort leuchtet mir leider überhaupt nicht ein.

>  
> Dann wirst du das präzisieren müssen, was dir daran nicht
> einleuchtet. Denn Hellsehen kann hier leider niemand.
>  
> Ein Stichwort wäre der Satz vom Nullprodukt, da hatte ich
> vorhin einfach mal vorausgesetzt, dass der bekannt ist,
> wenn man sich mit ganzrationalen Funktionen beschäftigt.
>  
>
> Gruß, Diophant

Ich versuche es mal mit meinen eigenen Worten. Beim Terassenpunkt habe ich eine dreifache Nullstelle. Da es sich um eine Funktion des vierten Grades handelt gibt es insgesamt 4 Nullstellen. Wenn ich bereits eine dreifache habe, dann benötige ich nur noch ein weiteres [mm] x^{n} [/mm] in meiner Gleichung. Kann man es so erklären?

Bezug
                                        
Bezug
Funktion 4. Grades: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 Sa 04.05.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich versuche es mal mit meinen eigenen Worten. Beim
> Terassenpunkt habe ich eine dreifache Nullstelle. Da es
> sich um eine Funktion des vierten Grades handelt gibt es
> insgesamt 4 Nullstellen. Wenn ich bereits eine dreifache
> habe, dann benötige ich nur noch ein weiteres [mm]x^{n}[/mm] in
> meiner Gleichung. Kann man es so erklären?

Nein, das hinkt noch arg. Es geht ja speziell um vielfache Lösungen mit dem Wert 0, sonst würden die Dinge viel komplizierter liegen. Es ist ganz einfach. In der Gleichung

[mm] ax^4+bx^3=0 [/mm]

kann man [mm] x^3 [/mm] ausklammern:

[mm] x^3*(ax+b)=0 [/mm]

und bekommt sofort mit Hiulfe des Satzes vom Nullprodukt die Lösungen

[mm] x_{1;2;3}=0 [/mm] ; [mm] x_4=-\bruch{b}{a} [/mm]

Würde man noch einen weiteren Summanden mit niedrigerer Potenz oder eine Konstante hinzuaddieren, also etwa

[mm] ax^4+bx^3+cx^2 [/mm]

dann kann man nur noch [mm] x^2 [/mm] auklammern und es gibt dann eben nur noch eine Doppellösung [mm] x_{1;2}=0, [/mm] aber eben keine Dreifachlösung mehr.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Funktion 4. Grades: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:06 Sa 04.05.2013
Autor: basti500

Danke!
Das mit dem Ausklammern leuchtet mir ein

Bezug
        
Bezug
Funktion 4. Grades: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 Sa 04.05.2013
Autor: M.Rex

Hallo

> 1. Der Graph G(f) einer ganzrationalen Funktion 4. Grades f
> hat im Koordinatenursprung einen Terassenpunkt und im Punkt
> P(3|-3) ein Extremum.
> Der Graph G(p) einer ganzrationalen Funktion 2. Grades
> berührt den Graphen G(f) im Punkt P(3|-3) und schneidet
> ihn im Punkt Q(0|0)
> a) Ermitteln Sie durch Rechnung die Funktionsgleichung von
> f.
> Hallo zusammen,

>

> meine erster Beitrag und gleich eine Frage.

>

> Wenn ich die Funktionsgleichungen aufstelle, dann würde
> ich die Aufgabe folgendermaßen lösen:

>

> f(3) = -3
> f'(0) = 0
> f(0) = 0
> f'(3) = 0
> f''(-2) = 0

Die letzte Bedingung lautet f''(0)=0

>

> f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
> f'(x) = 4ax³ + 3bx² + cx + d
> f''(x) = 12ax² + 6bx + c

>

> Dann einsetzen und rechnen.

>

> In der Lösung steht aber folgendes:
> Dreifache NST bei x = 0:
> f(x) = ax⁴ + bx³;
> f'(x) = 4ax³ + 3bx²
> f''(x) = 12ax² + 6bx

>

> Warum kann cx² + dx + e gleich von vornherein weglassen?

Weil aus f'(0) direkt folgt, dass e=0, aus f'(0)=0 folgt direkt, dass d=0 und aus f''(0)=0 folgt, dass c=0.


> Was hat sich mit der dreifachen NST aufsich, warum ist
> diese Info wichtig?

Wenn du eine Dreifache Nullstelle bei x=0 hast, muss die Funktion so beschaffen sein, dass du den Linearfaktor (x-0) dreifach hast, das geht nur, wenn  ausklammern kannst, das geht nur, wenn du die Funktion die folgende Form hat.
[mm] f(x)=a(x-x_1)(x-0)^3=a(x-x_1)x^3 [/mm]

a und die fehlende Nullstelle [mm] x_1 [/mm] musst du noch aus den zwei weiteren Bedinungen errechnen.

Marius

Bezug
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