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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 So 06.02.2011 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow\O^{+}} [/mm] = [mm] \bruch{cos(x) +x - 1}{x} [/mm] |
[mm] \limes_{x\rightarrow\O^{+}} [/mm] = [mm] \bruch{cos(x) +x - 1}{x} [/mm] =
[mm] \limes_{x\rightarrow\O^{+}} [/mm] = [mm] \bruch{cos(x)}{x}+ [/mm] 1 [mm] -\bruch{1}{x}
[/mm]
Meine Überlegung:
da gilt :
cos(x) [mm] \le [/mm] 1
=> [mm] \limes_{x\rightarrow\O^{+}} [/mm] = [mm] \bruch{cos(x)}{x}+ [/mm] 1 [mm] -\bruch{1{x}} \le \limes_{x\rightarrow\O^{+}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}+ [/mm] 1 [mm] -\bruch{1}{x} [/mm] = 1
Jetzt habe ich doch von der rechten Seite aus gezeigt, das der Grenzwert 1 ist.
(limes x gegen null ^{+}
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Hallo StevieG,
lasse den Backslash vor der 0 weg, dann wird sie auch angezeigt.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\O^{+}}[/mm] = [mm]\bruch{cos(x) +x - 1}{x}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\O^{+}}[/mm] = [mm]\bruch{cos(x) +x - 1}{x}[/mm] =[mm]\limes_{x\rightarrow\O^{+}}[/mm] = [mm]\bruch{cos(x)}{x}+[/mm] 1 [mm]-\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Meine Überlegung:
>
> da gilt :
>
> cos(x) [mm]\le[/mm] 1
>
> => [mm]\limes_{x\rightarrow\O^{+}}[/mm]
Limes wovon?
> = [mm]\bruch{cos(x)}{x}+[/mm] 1 [mm]-\bruch{1{x}} \le \limes_{x\rightarrow\O^{+}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}+[/mm] 1 [mm]-\bruch{1}{x}[/mm] = 1
>
>
> Jetzt habe ich doch von der rechten Seite aus gezeigt, das
> der Grenzwert 1 ist.
Zumindest hast du gezeigt, dass 1 eine obere Schranke für den GW ist.
Wieso kann er nicht -4711 sein?
>
> (limes x gegen null ^{+}
Bei direktem Grenzübergang entsteht der unbestimmte Ausdruck [mm]\frac{0}{0}[/mm]
Da bietet es sich an, die Regel von de l'Hôpital auszupacken.
Alternativ und m.E. eleganter ist aber, sich mal zur Funktion [mm]f(x)=\cos(x)+x[/mm] den Differenzenquotienten für [mm]x\to 0^+[/mm] anzuschauen.
Also [mm]\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\cos(x)+x-\left(\cos(0)+0\right)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\cos(x)+x-1}{x}[/mm]
Die Funktion [mm]f(x)=\cos(x)+x[/mm] ist auf ganz [mm]\IR[/mm] tadellos diffbar, was ergibt sich also für obigen Ausdruck?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 So 06.02.2011 | | Autor: | StevieG |
Mit L Hospital
ergibt sich:
-sin(x) +1 bei der Ableitung, wenn man das gegen Null laufen lässt => GW 1?
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> Mit L Hospital
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> ergibt sich:
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> -sin(x) +1 bei der Ableitung, wenn man das gegen Null
> laufen lässt => GW 1?
>
jup
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gruß tee
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Huhu,
alternativ zu schachus Vorschlag (der schon sehr elegant ist), kann man das ganze auch über die Reihendarstellung vom Cosinus lösen:
$ [mm] \bruch{cos(x) +x - 1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{\cos(x) - 1}{x} [/mm] + 1$
Nun Reihenentwicklung vom Cosinus nutzen, x kürzen 
MFG,
Gono.
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