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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Mafiose |
| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{b}{x^{-0.5}*e^{\bruch{x}{2}} dx}
[/mm]
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Hallo @all,
Ich habe eine Rekursive Lsg. gefunden. Gibt es eine nicht Rekursive Lsg?
[mm] \integral_{0}^{b}{t^{n}*e^{a*t} dt = \bruch{1}{a}*t^{n}*e^{a*t}-\bruch{n}{a}}*\integral_{0}^{b}{t^{n-1}*e^{a*t} dt} [/mm]
der letzte Integral wird dann jedesmal aufgerufen...
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> [mm]\integral_{0}^{b}{x^{-0.5}*e^{\bruch{x}{2}} dx}[/mm]
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> Hallo @all,
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> Ich habe eine Rekursive Lsg. gefunden. Gibt es eine nicht
> Rekursive Lsg?
>
> [mm] \integral_{0}^{b}{t^{n}*e^{a*t} dt} [/mm] = [mm] \green{\bruch{1}{a}*t^{n}*e^{a*t}}-\bruch{n}{a}*\integral_{0}^{b}{t^{n-1}*e^{a*t} dt} [/mm]
>
> das letzte Integral wird dann jedesmal aufgerufen...
Sehr hübsch, aber müsste da nicht noch das eine oder andere "b" im grünen Term auftauchen? Immerhin bist Du ja dabei, ein bestimmtes Integral zu berechnen.
Nicht-rekursiv ist hier die (unvollständige)![[]](/images/popup.gif) Gammafunktion.
Hier eine Lösung. Der erste Zahlenwert entspricht [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Mafiose |
Hi,
danke für die Hilfe...
ich habe mich leider in der Aufgabe vertippt :)
es müsste so lauten:
[mm] \integral_{0}^{b}{x^{-0.5}\cdot{}e^{\bruch{-x}{2}} dx}
[/mm]
es ergibt sich dann folgende Lösung?
-1,41421 * Gamma(0.5,0.5 * x)
für b=0.06148
wäre das Erg. = -1,41421 *Gamma(0.5,0.5 *0.06148)=-2,0156
Die Frage ist wie kommt man von dem Integral zu -2,0156?
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> Hi,
>
> danke für die Hilfe...
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> ich habe mich leider in der Aufgabe vertippt :)
>
> es müsste so lauten:
> [mm]\integral_{0}^{b}{x^{-0.5}\cdot{}e^{\bruch{-x}{2}} dx}[/mm]
>
> es ergibt sich dann folgende Lösung?
> [mm] \left[-1,41421 * Gamma(0.5,0.5 * x)\right]^{b}_{0}
[/mm]
>
> für b=0.06148
> wäre das Erg. = -1,41421 *Gamma(0.5,0.5*0.06148)=-2,0156
Und die untere Grenze?
[mm] -1,41421*\Gamma(0.5,0.5 *0.06148)\red{+1,41421*\Gamma(0.5,0)}
[/mm]
> Die Frage ist wie kommt man von dem Integral zu -2,0156?
Oder hab ich gerade einen Denkfehler?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Mafiose |
-1,41421 * Gamma(0.5,0.5 * 0.06148)+1,41421 * Gamma(0.5,0) = 0
also wenn ich diese Formel in Wolfram eingebe:
[mm] \integral_{}^{}{x^{-0.5}\cdot{}e^{\bruch{-x}{2}} dx}
[/mm]
bekomme ich als Lösung:
-1,41421 * Gamma(0.5,0.5*x)
Wenn ich diese Formel in Wolfram eingebe und b wäre 0.06148, dann erhalte ich:
[mm] \l-1,41421 [/mm] * Gamma(0.5,0.5*0.06148)=-2,0156
Meine Frage ist
-2,0156 ist es der Wert für den Integral
[mm] \integral_{0}^{0.06148}{x^{-0.5}\cdot{}e^{\bruch{-x}{2}} dx}
[/mm]
und wie komme ich dahin ohne Wolfram :)
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Das bekommst Du eben nicht heraus.
Der Mathematica Integrator gibt Dir zwar die Stammfunktion, aber wenn Du ein bestimmtes Integral damit berechnen willst, musst Du es auch richtig anwenden. Du ignorierst beständig die untere Grenze 0.
[mm] \integral_{0}^{b}{f(x) dx}=F(a)\red{-F(0)}
[/mm]
Dein bestimmtes Integral kann doch nicht negativ sein - hast Du die Funktion mal zeichnen lassen?
Ohne maschinelle oder andere Unterstützung kommst Du einfach gar nicht zur Lösung, es sei denn, du weißt mehr über die Gammafunktion. Selbst dann ist es schwierig, und ich würde Dir einen numerischen Ansatz empfehlen. Das ist allerdings genau das, was der Taschenrechner auch tut.
Und zum Schluss, ganz nebenbei: es heißt nicht "der" Integral, sondern das Integral.
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Mafiose |
stimmt :) gut dann kommt das hier raus.
-1,41421 * Gamma(0.5,0.5 * 0.06148)+1,41421 * Gamma(0.5,0) = 0.48739
Ich versuche ein Algorithmus zu erstellen und dafür brauche ich oben genannten Integral.
In dem Programm verändert sich nur der x Wert.
d.h. Ich habe so eine Formel:
-1,41421 * Gamma(0.5,0.5 * x)+1,41421 * Gamma(0.5,0)
Wie wird den so eine Gamma Funktion berechnet?
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Hier findest Du eine algorithmentaugliche Berechnung. Wahrscheinlich kannst Du auch Module/Unterprogramme auftreiben, die in Deiner Programmiersprache als Fertigbausteine mit vernünftiger Übergabe längst existieren.
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Do 15.01.2009 | | Autor: | Mafiose |
jepp es gibt fertige Funktionen. Ich wollte das ganze aber Verstehen was ich da mache :)
danke nochmals für die Hilfe.
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> [mm]\integral_{0}^{b}{x^{-0.5}*e^{\bruch{x}{2}} dx}[/mm]
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> Hallo @all,
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> Ich habe eine Rekursive Lsg. gefunden. Gibt es eine nicht
> Rekursive Lsg?
Hallo,
abgesehen von der von reverend vorgeschlagenen
Lösung mit der Gammafunktion könnte ich mir
eine Lösung in Reihenform vorstellen:
1.) [mm] e^{\bruch{x}{2}} [/mm] als Reihe darstellen
2.) mit [mm] x^{-0.5} [/mm] multiplizieren
3.) gliedweise integrieren
4.) [mm] \wurzel{x} [/mm] ausklammern
Damit komme ich auf die Stammfunktion:
[mm] $\integral{x^{-0.5}*e^{\bruch{x}{2}}\ dx}\ [/mm] =\ [mm] \wurzel{x}*\summe_{k=0}^{\infty}\ \bruch{x^k}{2^k*(k+\bruch{1}{2})*k!}$
[/mm]
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Mafiose |
hm...ich verstehe nicht so ganz wie du das gemacht hast...würde dieser Ansatz für den korrigierten Integral funktionieren? siehe Aufgabe.
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> hm...ich verstehe nicht so ganz wie du das gemacht
> hast...würde dieser Ansatz für den korrigierten Integral
es heisst: das Integral ...
> funktionieren?
Ja. Die Änderung ist einfach vorzunehmen.
Für die Exponentialfunktion [mm] e^x [/mm] gilt:
$\ [mm] e^x=1+x+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^4}{4!}+ [/mm] .....\ =\ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!}$
[/mm]
Die Reihe für [mm] e^{-\bruch{x}{2}} [/mm] erhält man, wenn man x
durch [mm] -\bruch{x}{2} [/mm] ersetzt:
$\ [mm] e^{-\bruch{x}{2}}=1+(-\bruch{x}{2})+\bruch{(-\bruch{x}{2})^2}{2!}+ [/mm] .....\ =\ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-\bruch{x}{2})^k}{k!}\ [/mm] =\ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^k}{(-2)^k*k!}}$
[/mm]
Nun multipliziert man alles mit [mm] x^{-\bruch{1}{2}}, [/mm] um die
Integrandenfunktion zu bekommen:
$\ [mm] f(x)=x^{-\bruch{1}{2}}*\ \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{(-2)^k*k!}=\ \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k-\bruch{1}{2}}}{(-2)^k*k!}$
[/mm]
Gliedweise integrieren:
[mm] $\integral [/mm] f(x)\ dx\ =\ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k+\bruch{1}{2}}}{(-2)^k*(k+\bruch{1}{2})*k!}$
[/mm]
Um die halbzahligen Exponenten in der Reihe zu
vermeiden, zieht man einen Faktor $\ [mm] x^\bruch{1}{2}=\wurzel{x}$ [/mm] nach
vorne und hat:
[mm] $\integral [/mm] f(x)\ dx\ =\ [mm] \wurzel{x}*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k}}{(-2)^k*(k+\bruch{1}{2})*k!}$
[/mm]
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Di 13.01.2009 | | Autor: | Mafiose |
Danke für eine Ausführliche Erklärung.
Hab jetzt verstanden. Werde demnächst paar Aufgaben durchrechnen.
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