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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Sa 15.01.2011 | | Autor: | stud-ing |
| Aufgabe | Die Funktion Tangens hyperbolicus wird erklärt durch: [mm] tanh(x)=\bruch{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} [/mm] , [mm] x\in\IR [/mm] .
(a) Zeigen Sie: tanh(-x)=-tanh(x).
(b) Zeigen Sie: die Funktion tanh ist streng monoton wachsend.
(c) Zeigen Sie: -1<tanh(x) < 1, [mm] x\in\IR.
[/mm]
(d) Geben Sie folgende Grenzwerte an : [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}tanh(x), \limes_{x\rightarrow-\infty}tanh(x).
[/mm]
(e) Zeigen Sie: die Umkehrfunktion artanh von tanh lautet:
[mm] artanh(x)=\bruch{1}{2}In(\bruch{1+x}{1-x}), [/mm] |x|<1.
(f) Zeigen Sie: [mm] artanh'(x)=\bruch{1}{1-x^{2}}, [/mm] |x|<1. |
Hallo, benötige dringend Hilfe zur Berechnung der genannten Aufgaben. Ich habe mich selbstverständlich über die Funktion (Hyperbelfunktion) informiert, jedoch habe ich massive Probleme bei diesem Funktionstyp und natürlich beim Berechnen der Aufgaben.
Wenn mir jemand zu den Aufgabenteilen a bis c (gerne mehr) Lösungshinweise oder Ansätze zur Berechnung mitteilen könnte wäre ich sehr dankbar.
Gruß stud-ing
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Hallo stud-ing,
also ich geb dir erstmal n paar tipps für a) bis c)....
wär schön, wenn du auch deine ansätze posten könntest.
a) setzt doch einfach mal für $x$ in die funktion für $-x$ ein und schau was rauskommt.... das ist dann nämlich $tanh(-x)$!
b) leite die Funktion ab und schau, was du über die steigung in einem beliebigen Punkt sagen kannst
c) betrachte dies als zwei ungleichungen. also einmal $-1 < tanh(x)$ und einmal $tanh(x) <1$. setz dann die funktion ein und schau, ob du eine wahre aussage erhältst
zum rest können wir ja auch später nochmal kommen
gruß, rasta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Sa 15.01.2011 | | Autor: | stud-ing |
(a) tanh(-x) = [mm] \bruch{e^{-x}-e^{x}}{e^{-x}+e^{x}}
[/mm]
-tanh(x) = [mm] \bruch{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} [/mm] | x (-1)
tanh(x) = [mm] \bruch{e^{-x}-e^{x}}{e^{-x}+e^{x}}
[/mm]
(b) tanh'(x)= [mm] \bruch{1}{cosh^{2}x}= 1+tanh^{2}x
[/mm]
als Graph ergibt das eine Gerade auf der x-Achse.
(c) [mm] \bruch{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}= 1-\bruch{2}{e^{2x}+1} [/mm] = [mm] \bruch{sinh(x)}{cosh(x)}
[/mm]
[mm] -1<\bruch{sinh(x)}{cosh(x)}<1
[/mm]
Das sind meine Ansätze zu a,b und c. Stimmt das soweit ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo stud-ing!
Löse hier folgenden beiden Ungleichungen auf:
[mm]-1 \ < \ \bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}[/mm]
[mm]\bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \ < \ +1[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 So 16.01.2011 | | Autor: | stud-ing |
zu Aufgabe (c)
-1 < [mm] \bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
[/mm]
Ansatz:
[mm] -e^{x}-e^{-x}
[mm] 0<-2e^{x}
[/mm]
[mm] \bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} [/mm] < +1
Ansatz:
[mm] e^{x}-e^{-x}
[mm] e^{-x}
Bin mir leider nicht sicher ob das soweit richtig ist, kann mir bitte Jemand weiter helfen. Ansonsten wäre ich sehr dankbar wenn mir bei der (f) weiter geholfen wird. Danke für die Antworten
Gruß stud-ing
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Hallo
[mm] -1<\bruch{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}
[/mm]
der Nenner ist stets größer Null
[mm] -e^{x}-e^{-x}
[mm] -e^{x}
[mm] 0<2e^{x}
[/mm]
hier hast du einen Vorzeichenfehler, mache dir jetzt Gedanken zur e-Funktion
bei der 2. Ungleichung überprüfe unbedingt deine Vorzeichen, du subtrahierst auf beiden Seiten der Ungleichung [mm] e^{x}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 So 16.01.2011 | | Autor: | stud-ing |
[mm] 0<2e^{x}
[/mm]
[mm] 0<2e^{-x}
[/mm]
Wie geht es weiter ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 So 16.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo stud-ing!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Was weißt Du nun über die e-Funktion? Erfüllt diese jeweils diese beiden Ungleichungen?
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo stud-ing!
> tanh(-x) = [mm]\bruch{e^{-x}-e^{x}}{e^{-x}+e^{x}}[/mm]
>
> -tanh(x) = [mm]\bruch{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}[/mm] | x (-1)
> tanh(x) = [mm]\bruch{e^{-x}-e^{x}}{e^{-x}+e^{x}}[/mm]
Du scheinst das richtige zu meinen, jedoch ist es etwas ... unkonventionell aufgeschreiben.
Einfacher:
[mm]\tanh(-x) \ = \ \bruch{e^{-x}-e^{-(-x)}}{e^{-x}+e^{-(-x)}} \ = \ \bruch{e^{-x}-e^{x}}{e^{-x}+e^{x}} \ = \ \bruch{-\left(-e^{-x}+e^{x}\right)}{e^{-x}+e^{x}} \ = \ -\bruch{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \ = \ -\tanh(x)[/mm]
Gruß
Loddar
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Die Ableitung stimmt nicht. Da hast Du Dich vom "normalen" Tangens verleiten lassen.
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Wie das? Dann müsste die Ableitung $y' \ = \ 0$ lauten, um das zu erfüllen.
