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Forum "Differenzialrechnung" - Funktion ableiten
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Funktion ableiten: Rückfrage, Idee, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 Di 31.03.2015
Autor: Dom_89

Aufgabe
Leiten Sie die Funktion f(t), gegeben durch

f(t) = [mm] sin^{2} [/mm] (wt) + [mm] cos^{2} [/mm] (wt) + [mm] t^{2} [/mm]

mit w = [0 ; 2 [mm] \pi], [/mm] zeitlich ab.

Hinweis: Gesucht ist [mm] \bruch{\partial f(t)}{\partial f} [/mm]  = f´(t)


Hallo,

ich habe ein paar kleine Verständnisfragen und hoffe, dass ihr mir da behilflich sein könnt.

Ich habe die Funktion zunächst mit Hilfe der Kettenregel versucht einmal abzuleiten:

f´(t) = 2 * cos (wt) * w - 2 * sin (wt) * w + 2 t

Mein Lehrer meinte daraufhin, dass dies so nicht richtig sei und es so lauten müsste:

f´(t) = 2 * sin (wt) * cos (wt) * w + 2 * cos(wt) * (-sin(wt)) * w + 2 t

Dies verwirrt mich nun und ich finde selber hierzu keine Erklärung!


Ich habe darauf hin für w = 0 eingesetzt und so dann f´(t) = 2t erhalten.

Ich bin mir nun unsicher, ob ich noch w = 2 [mm] \pi [/mm] einsetzten muss, da in der Lösung nur  f´(t) = 2t steht

Ich hoffe, dass Ihr mir hier helfen könnt!?

        
Bezug
Funktion ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:36 Di 31.03.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Leiten Sie die Funktion f(t), gegeben durch
>  
> f(t) = [mm]sin^{2}[/mm] (wt) + [mm]cos^{2}[/mm] (wt) + [mm]t^{2}[/mm]
>  
> mit w = [0 ; 2 [mm]\pi],[/mm] zeitlich ab.
>  
> Hinweis: Gesucht ist [mm]\bruch{\partial f(t)}{\partial f}[/mm]  =
> f´(t)

Du meinst [mm] $df(t)/d\red{t}$, [/mm] meinetwegen hier auch [mm] $\partial f(t)/\partial [/mm] t$ - kennt Ihr
denn überhaupt schon partielle Ableitungen? Und [mm] $w=[0;2\pi]$ [/mm] ist Quatsch, Du meinst
sicher [mm] $w=2\pi\,,$ [/mm] oder sogar noch eher [mm] $\omega=2\pi\,.$ [/mm] Im Folgenden schreibe ich
dennoch eher [mm] $w\,,$ [/mm] also [mm] $w:=\omega\,.$ [/mm]

>  Hallo,
>  
> ich habe ein paar kleine Verständnisfragen und hoffe, dass
> ihr mir da behilflich sein könnt.
>  
> Ich habe die Funktion zunächst mit Hilfe der Kettenregel
> versucht einmal abzuleiten:
>  
> f´(t) = 2 * sin (wt) * w + 2 * cos (wt) * w + 2 t
>  
> Mein Lehrer meinte daraufhin, dass dies so nicht richtig
> sei und es so lauten müsste:
>  
> f´(t) = 2 * sin (wt) * cos (wt) * w + 2 * cos(wt) *
> (-sin(wt)) * w + 2 t
>  
> Dies verwirrt mich nun und ich finde selber hierzu keine
> Erklärung!

Betrachten wir (weil das eigentlich zum Verständnis reichen sollte) mal

    [mm] $g(t):=\sin^2(wt)\,.$ [/mm]

Setze [mm] $u(v):=v^2\,$ $v(x)=\sin(x)$ [/mm] und [mm] $x(t):=wt\,.$ [/mm] Dann ist

    $(u [mm] \circ [/mm] (v [mm] \circ [/mm] x))(t)=((v [mm] \circ x)(t))^2=(\sin(x(t)))^2=(\sin(wt))^2=\sin^2(wt)=g(t)\,.$ [/mm]

Also ist nach der Kettenregel (2 Mal anwenden!)

    $g'(t)=u'((v [mm] \circ [/mm] x)(t))*(v [mm] \circ x)'(t)=u'(v(x(t)))*v'(x(t))*x'(t)\,.$ [/mm]
  
Nun ist [mm] $u'(v)=2v\,,$ [/mm] also

    [mm] $u'(v(x(t)))=2v(x(t))=2\sin(x(t))=2\sin(wt)$, [/mm]

weiter [mm] $v'(x)=\cos(x)\,,$ [/mm] also

    [mm] $v'(x(t))=\cos(x(t))=\cos(w*t)\,,$ [/mm]

und [mm] $x'(t)=w\,.$ [/mm] Einsetzen, und Du siehst

    [mm] $g'(t)=2\sin(w*t)*\cos(w*t)*w\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

>
> Ich habe darauf hin für w = 0 eingesetzt und so dann
> f´(t) = 2t erhalten.
>  
> Ich bin mir nun unsicher, ob ich noch w = 2 [mm]\pi[/mm] einsetzten
> muss, da in der Lösung nur  f´(t) = 2t steht
>  
> Ich hoffe, dass Ihr mir hier helfen könnt!?


Bezug
                
Bezug
Funktion ableiten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:45 Di 31.03.2015
Autor: Dom_89

Danke für die schnelle Antwort!

Leider kann ich dieses aus irgendeinem Grund nicht lesen ( Zahlen/Buchstaben) werden als solche nicht dargestellt

Bezug
                        
Bezug
Funktion ableiten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:49 Di 31.03.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Danke für die schnelle Antwort!
>  
> Leider kann ich dieses aus irgendeinem Grund nicht lesen (
> Zahlen/Buchstaben) werden als solche nicht dargestellt

ja, ich mach's mal gerade in Kurzfassung ohne Formeleditor:
Betrachte erstmal

    g(t)=u(v(x(t)))

mit u(v)=v², v(x)=sin(x) und x(t)=wt. Dann gilt

   g(t)=u(v(x(t)))=sin²(w*t)

und zweifache Anwendung der Kettenregel liefert

    g'(t)=u'(v(x(t)))*v(x(t))*x'(t).

Schreib' das mal ausführlicher auf, ich gucke mal gerade, wie ich das Formel-
Darstellungsproblem anders lösen kann.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Funktion ableiten: Unlesbarkeit der Formeln
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:46 Di 31.03.2015
Autor: Marcel

P.S. Sind bei Euch auch die Formeln momentan quasi unlesbar? Falls ja, sollte
ggf. jemand mal den Webmaster informieren (bzw. falls noch nicht geschehen,
werde ich das gerne nachholen).

Bezug
                        
Bezug
Funktion ableiten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:03 Di 31.03.2015
Autor: tobit09

Hallo zusammen!


Auch bei mir sind die Formel-Bilder leider nicht da. Bei einem anderen Thread hatte ich eben das gleiche Problem; dort waren die Bilder aber nach einigen Minuten sichtbar.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
Funktion ableiten: Datei
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Di 31.03.2015
Autor: Marcel

Hallo,

hier nochmal die Antwort als Bild - leichtgrau sind Deine Fragen. Im Anhang
das pdf-Dokument.

    [Dateianhang nicht öffentlich]

    [a]Antwort.pdf

Gruß,
  Marcel

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Funktion ableiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Do 02.04.2015
Autor: Dom_89

Vielen Dank für die Antwort,

mir ist nun aber nicht klar, wieso die Lösung 2t ist , wenn ich für w = 2pi einsetzte :(

Ich sehe auch keine Möglichkeit zu kürzen. Kannst du mir das noch erläutern?

Bezug
                        
Bezug
Funktion ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Do 02.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Vielen Dank für die Antwort,
>
> mir ist nun aber nicht klar, wieso die Lösung 2t ist ,
> wenn ich für w = 2pi einsetzte :(
>  
> Ich sehe auch keine Möglichkeit zu kürzen. Kannst du mir
> das noch erläutern?  

na, Du hattest doch

    [mm] $f\,'(t) [/mm] = 2 * [mm] \sin [/mm] (wt) * [mm] \cos [/mm] (wt) * w + 2 * [mm] \cos(wt) [/mm] * [mm] (-\sin(wt)) [/mm] * w + 2 t$

Und dort ist nun

     [mm] $2\sin(wt)*\cos(wt)*w+2*\cos(wt)*(-\sin(wt))*w=\{\sin(wt)\cos(wt)-\sin(wt)\cos(wt)\}*2w=0*2w=0\,.$ [/mm]

Daher ist

    [mm] $f\,'(t)=2t\,,$ [/mm]

sogar unabhängig davon, wie auch immer [mm] $w\,$ [/mm] gewählt wird.

P.S. Wenn Du mal bei [mm] $f(t)=\sin^2(wt)+\cos^2(wt)+t^2$ [/mm] an den []trigonometrischen
Pythagoras
denkst, wird das Ganze wegen [mm] $\tfrac{d}{dt}1=0$ [/mm] auch wenig(er) verwunderlich...

Gruß,
  Marcel

Bezug
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