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Funktion ableiten: Nachvollziehen einer Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:28 Fr 10.04.2015
Autor: Kosamui

Guten Morgen :)

Jemand hat die Aufgabe f(x) = [mm] x^2 [/mm] -7x + 3 abzuleiten so gelöst (ohne wirklich "abzuleiten", sondern mit linearisieren)

Zuerst wurde f(r+s)  berechnet: f(r+s) = [mm] r^2 [/mm] + r(2s-7) [mm] +s^2 [/mm] - 7s +3

Dann wurde die Linearisierung vorgenommen: [mm] r^2 [/mm] + r(2s -7) -7s + 3

Dann wurde für s der Term [mm] x-x_{0} [/mm] unf für r  wurde [mm] x_{0}eingesetzt. [/mm]

-> [mm] x_{0}^2 [/mm] + [mm] x_{0}*(2(x-x_{0})-7)-7*(x-x_{0})+3 [/mm]

Anschließend wurde durch [mm] (x-x_{0}) [/mm] dividiert und umgeformt auf :

[mm] (x_{0}^2)/(x-x_{0}) [/mm] - (7 [mm] x_{0})/(x-x_{0}) [/mm]  + [mm] (3)/(x-x_{0}) [/mm] + 2 [mm] x_{0} [/mm] -7

Dann wurde [mm] 2x_{0} [/mm] -7 als 1. Ableitung angegeben. Was ja auch stimmt wenn man normal ableitet, aber irgendwie kann ich diese Schritte nicht nachvollziehen.

Kann mir wer helfen? :)

Lg Kosamui :)



        
Bezug
Funktion ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:34 Fr 10.04.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Dann wurde [mm]2x_{0}[/mm] -7 als 1. Ableitung angegeben. Was ja
> auch stimmt wenn man normal ableitet, aber irgendwie kann
> ich diese Schritte nicht nachvollziehen.

das liegt wohl daran, dass sie trotz allem unsauber, wenn auch zielführend sind.

Dieser Lösung liegt vermutlich folgende Definition zugrunde:

Eine Funktion f ist an der Stelle [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, wenn eine Konstante [mm] L_{x_0} [/mm] und stetige Funktion r mit [mm] $r(x_0)=0$ [/mm] existiert, so dass gilt:

$f(x) = [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] L_{x_0}*(x [/mm] - [mm] x_0) [/mm] + [mm] r(x)*(x-x_0)$ [/mm]

Teilen durch [mm] $(x-x_0)$ [/mm] liefert:
[mm] $\bruch{f(x)}{x-x_0} [/mm] = [mm] \bruch{f(x_0)}{x-x_0} [/mm] + [mm] L_{x_0} [/mm] + r(x)$

bzw:

[mm] $\bruch{f(x)}{x-x_0} [/mm] = [mm] \bruch{f(x_0+(x-x_0))}{x-x_0} [/mm] = [mm] \bruch{f(x_0)}{x-x_0} [/mm] + [mm] L_{x_0} [/mm] + r(x)$

Der interessante Teil des Nachweises der Voraussetzung, nämlich dass r(x) stetig gewählt werden kann mit $r(x) [mm] \to [/mm] 0$ für [mm] $x\to x_0$ [/mm] versteckt sich in dem lapidaren Satz: "Dann wurde die Linearisierung vorgenommen".

Konkret würde obiges also wie folgt aussehen:

[mm] $f(x_0+(x-x_0)) [/mm] = [mm] (x_0 [/mm] + [mm] (x-x_0))^2 [/mm] - [mm] 7(x_0 [/mm] + [mm] (x-x_0)) [/mm] + 3 = [mm] \left(x_0^2 - 7x_0 + 3\right) [/mm] + [mm] 2x_0(x-x_0) [/mm] - [mm] 7(x-x_0) [/mm] + [mm] (x-x_0)^2 [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] 2x_0(x-x_0) [/mm] - [mm] 7(x-x_0) [/mm] + [mm] (x-x_0)^2 [/mm] $

Und damit:
[mm] $\bruch{f(x)}{x-x_0} [/mm] = [mm] \bruch{f(x_0+(x-x_0))}{x-x_0} [/mm] = [mm] \bruch{f(x_0)}{x-x_0} [/mm] + [mm] 2x_0 [/mm] - 7 + [mm] (x-x_0)$ [/mm]

Und das geübte Auge erkennt $r(x) = [mm] x-x_0$ [/mm]  und [mm] $L_{x_0} [/mm] = [mm] 2x_0 [/mm] - 7$

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Funktion ableiten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:46 Fr 10.04.2015
Autor: notinX

Hallo,

ich frage mich gerade, warum man sowas tut? Die Ableitung wäre doch viel komfortabler mit den Ableitungsregeln oder mit dem Differentialquotienten zu machen...

Gruß,

notinX

Bezug
                        
Bezug
Funktion ableiten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:13 Fr 10.04.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

sowas kommt meiner Meinung nach bei raus, wenn man statt Verständnis nur gelöste Aufgaben im Internet findet und sie kommentarlos versucht nachzubauen ;-)
Aber zugegeben: Das ist reine Spekulation.

Gruß,
Gono

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