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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 So 20.06.2010 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
zum Stetigkeitsbeweis muss ich [mm] \bruch{|x_{1}|^{(5/2)}sin(x_{2}^2)}{x_{1}^4+x_{2}^4} [/mm] gegen [mm] c*{\wurzel{x_{1}^2+x_{2}^2}}^{\alpha} [/mm] abschätzen.
[mm] sin(x_{2}^2) [/mm] kleiner gleich [mm] x_{2}^2 [/mm] war ja kein Problem, allerdings weiß ich nicht, wie ich den Nenner wegbekomme. Im Prinzip hatte ich mir gedacht, den Nenner irgendwie mit dem rechten Teil zu eliminieren und dann nochmal [mm] x_{1}^2 [/mm] im Zähler zu addieren, aber da fehlen mir noch ein paar Potenzen...
Wie geh ich hier am besten ran?
Danke!
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Huhu,
offensichtlich sollst du [mm] \le [/mm] zeigen, da für [mm] $x_1 [/mm] = 0$ gilt
$ [mm] \bruch{|x_{1}|^{(5/2)}sin(x_{2}^2)}{x_{1}^4+x_{2}^4} [/mm] = 0 < [mm] c|x_2|^\alpha [/mm] = [mm] c\sqrt{x_1^2 + x_2^2}^\alpha$
[/mm]
Ein bisschen Umformen liefert:
[mm] $\sqrt{|x_1|^5}\sin{x_2^2} \le \sqrt{c^2(x_1^2 +x_2^2)^\alpha(x_1^4 + x_2^4)^2}$
[/mm]
Es gilt:
[mm] c^2(x_1^2 +x_2^2)^\alpha(x_1^4 [/mm] + [mm] x_2^4)^2 \ge c^2(x_1^2)^\alpha (x_1^4)^2 [/mm] = [mm] c^2(x_1^2)^\alpha (x_1^2)^4 [/mm] = [mm] c^2 |x_1|^{2\alpha + 8} [/mm]
Naja, gewünschtes c und [mm] \alpha [/mm] zu finden, sollte nun kein Problem mehr darstellen
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 So 20.06.2010 | | Autor: | oli_k |
Hi,
vielen Dank!
Bisher haben wir es aber immer schrittweise gemacht, sorry, hätte ich schreiben sollen.
Also Anfang jeder Zeile immer kleiner gleich und dann solange, bis man bei der Zielform angekommen ist.
Kannst du deine Ausführungen dann vielleicht ein bisschen umstellen? Wäre echt super.
Meine Idee war eben:
...
[mm] \le |x_1|^{5/2}\bruch{x_{2}^{2}}{x_{1}^{4}+x_{2}^{4}}
[/mm]
[mm] \le |x_1|^{5/2}\bruch{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}^{4}+x_{2}^{4}}
[/mm]
Aber dieser Weg scheint nicht zum Ziel zu führen. Irgendwie komme ich mit deinen Hinweisen an der Stelle auch nicht großartig weiter - hast du da noch einen Tipp?
Danke!
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ok, dann mal kompliziert:
$\bruch{|x_1|^\bruch{5}{2}\sin(x_2^2)}{x_1^4 + x_2^4}$
$\le \bruch{|x_1|^\bruch{5}{2}}{x_1^4 + x_2^4}$
$= \bruch{\sqrt{|x_1|^5}}{x_1^4 + x_2^4}$
Soweit klar, denk ich, nun betrachten wir mal NUR $|x_1|^5$.
$|x_1|^5 \le |x_1|^{2\alpha + 8}$ für $\alpha>0$
$= x_1^{2\alpha}*x_1^8$
$={(x_1^2)}^\alpha {(x_1^4)}^2$
$\le {(x_1^2 + x_2^2)}^\alpha {(x_1^4 + x_2^4)}^2$
Und daher gilt:
$ \bruch{\sqrt{|x_1|^5}}{x_1^4 + x_2^4}$
$\le \bruch{\sqrt{ {(x_1^2 + x_2^2)}^\alpha {(x_1^4 + x_2^4)}^2}}{x_1^4 + x_2^4}$
$= \bruch{\sqrt{ {(x_1^2 + x_2^2)}^\alpha}*\sqrt{{(x_1^4 + x_2^4)}^2}}{x_1^4 + x_2^4}$
$= \bruch{\sqrt{ {(x_1^2 + x_2^2)}^\alpha} *(x_1^4 + x_2^4)}{x_1^4 + x_2^4}$
$= \sqrt{ {(x_1^2 + x_2^2)}^\alpha$
MFG,
Gono.
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