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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Fr 29.07.2011 | | Autor: | hula |
Hi
Ich habe folgende Funktion:
[mm]\phi : [0,\infty[ \to \IR^+ [/mm]
[mm] \phi(x) = \bruch{(1+x)^n}{\summe_{i=0}^{n}x^i}[/mm]
wobei $\ n [mm] \in \IN [/mm] $ eine natürliche Zahl ist. Das die Funktion nicht negativ ist, ist klar. Jetzt brauche ich folgende Abschätzung:
[mm] \exists c,C >0 : c \le \phi(x) = \bruch{(1+x)^n}{\summe_{i=0}^{n}x^i} \le C[/mm]
Über die Funktion weiss ich folgende zwei Dinge:
[mm] \phi(0) = 1, \limes_{x\rightarrow\infty}\phi(x) = 1[/mm]
Wie kann ich nun die Funktion abschätzen um die zwei Konstanten zu erhalten?
Ich danke euch für eine erklärende Antwort.
greetz
hula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Fr 29.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würde erstmal die summe im nenner ausrechen (geometrische summe.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Fr 29.07.2011 | | Autor: | hula |
Hi leduart
Das habe ich bereits versucht, dies hätte ich erwähnen sollen. Allerdings sehe ich nicht, wie mir das weiterhelfen soll:
[mm]\bruch{(1+x)^n}{\summe_{i=0}^{n}x^i}=\bruch{(1+x)^n}{\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}}=\bruch{(1+x)^n*(1-x)}{1-x^{n+1}} [/mm]
Wie soll ich denn nun hier irgendwelche Beschränktheit folgern?
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Hiho,
so wie deine Frage formuliert ist, bist du doch eigentlich längst fertig.
Wenn es dir einzig um die Existenz von c und C gilt, folgt diese doch sofort aus [mm] $\lim_{x\to\infty}\phi(x) [/mm] = 1$ und der Stetigkeit auf [mm] $[0,\infty)$.
[/mm]
Möchtest du stattdessen das globale Minimum und Maximum von [mm] \phi [/mm] bestimmen, dann hast du jetzt nach leduarts Tipp und deiner Umformung eine Funktion, an der du leicht eine Kurvendiskussion durchführen kannst.
(Wobei du jetzt natürlich wegen der entstandenen Definitionslücke x=1 aufpassen musst, dafür kannst du aber auf den Ursprungsausdruck zurückgreifen)
Ist nicht wirklich schwer 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Fr 29.07.2011 | | Autor: | hula |
Ah...ich Depp, wenn ich dich richtig verstanden habe, meinst du dies wie folgt.
Weil [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \phi(x) [/mm] existiert, definiere ich eine stetige Funktion auf dem kompakten Intervall $\ [mm] [0,\infty] [/mm] $. Darauf muss sie ein Minimum und Maximum annehmen, die beide Positiv sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Fr 29.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ah...ich Depp, wenn ich dich richtig verstanden habe,
> meinst du dies wie folgt.
>
> Weil [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \phi(x)[/mm] existiert,
> definiere ich eine stetige Funktion auf dem kompakten
> Intervall [mm]\ [0,\infty] [/mm].
[mm]\ [0,\infty] [/mm] ist nicht kompakt !!!
Auch [mm]\ [0,\infty) [/mm] ist nicht kompakt,
FRED
> Darauf muss sie ein Minimum und
> Maximum annehmen, die beide Positiv sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Fr 29.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi
>
> Ich habe folgende Funktion:
>
> [mm]\phi : [0,\infty[ \to \IR^+[/mm]
> [mm]\phi(x) = \bruch{(1+x)^n}{\summe_{i=0}^{n}x^i}[/mm]
>
> wobei [mm]\ n \in \IN[/mm] eine natürliche Zahl ist. Das die
> Funktion nicht negativ ist, ist klar. Jetzt brauche ich
> folgende Abschätzung:
>
> [mm]\exists c,C >0 : c \le \phi(x) = \bruch{(1+x)^n}{\summe_{i=0}^{n}x^i} \le C[/mm]
>
> Über die Funktion weiss ich folgende zwei Dinge:
> [mm]\phi(0) = 1, \limes_{x\rightarrow\infty}\phi(x) = 1[/mm]
>
> Wie kann ich nun die Funktion abschätzen um die zwei
> Konstanten zu erhalten?
>
Mit dem binomischen Satz sieht man , dass für x [mm] \ge [/mm] 0 stets [mm] \phi(x) \ge [/mm] 1 ist.
Somit kannst Du c=1 wählen.
Wegen [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\phi(x) [/mm] = 1 gibt es ein [mm] x_0 [/mm] >0 mit [mm] \phi(x) \le [/mm] 2 für x [mm] >x_0
[/mm]
Auf [mm] [0,x_0] [/mm] ist [mm] \phi [/mm] als stetige Funktion nach oben beschränkt.
So, nun bau Du das alles mal zusammen.
FRED
> Ich danke euch für eine erklärende Antwort.
>
> greetz
>
> hula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Fr 29.07.2011 | | Autor: | hula |
hallo fred,
Ich danke dir für deine Antwort! Nun ist mir alles klar. Das mit der Kompaktheit habe ich kurz nach abschicken selbst bereut. ;)
greetz
hula
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