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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Di 18.01.2011 | | Autor: | froehli |
| Aufgabe | Es sei f: M -> N eine surjektive Funktion. Durch die Festlegung
x [mm] \equiv [/mm] y [mm] :\gdw [/mm] f(x) = f(y)
für alle x,y [mm] \in [/mm] M enthalten wir eine Relation [mm] \equiv [/mm] auf M.
a) Weisen sie nach, dass [mm] \equiv [/mm] eine Äquivalenzrelation ist.
b) Zeigen Sie, dass [mm] \{f^{-1}(\{x\}) | x \in N\} [/mm] die Menge M/ [mm] \equiv [/mm] der Äquivalenzklassen von [mm] \equiv [/mm] ist. |
Die oben stehende Aufgaben macht meiner Übungsgruppe und mir Probleme.
a) haben wir soweit bewiesen, dass wir bei der Reflexivität uns auf die Eindeutigkeit der Funktion berufen haben.
Also:
z.Z. x [mm] \equiv [/mm] x [mm] \gdw [/mm] f(x) = f(x)
x [mm] \equiv [/mm] x [mm] \gdw [/mm] Wahr, da f eine Funktion ist, gilt auch die Eindeutigikeit, also f(x) = f(x)
Symmetrie:
z.Z. x [mm] \equiv [/mm] x [mm] \gdw [/mm] y [mm] \equiv [/mm] x
f(x) = f(y) [mm] \gdw [/mm] y [mm] \equiv [/mm] x
Mehr hab ich zu dem Teil auch noch nicht.
Transitivität fehlt mir auch noch
Bei Aufgabe 6 b haben wir einen Tipp bekommen,
1) Sei z [mm] \in [/mm] M
Zeige es ex. x [mm] \in [/mm] N mit [mm] [z]_{\equiv} [/mm] = [mm] f^{-1}(\{x\})
[/mm]
1) Sei x [mm] \in [/mm] n
Zeige es ex. x [mm] \in [/mm] N mit [mm] [z]_{\equiv} [/mm] = [mm] f^{-1}(\{x\})
[/mm]
Das sagt mir aber bislang noch garnichts.
Bedenkt beim Antworten bitte, dass ihr hier einen 1. Semester vor euch Sitzen habt, der nicht Mathe studiert, sondern Informatik - somit nur Mathe A absolviert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Di 18.01.2011 | | Autor: | Rongo |
also zur ersten aufgabe:
Edit durch Mod (schachuzipus): die [mm] $\equiv$ [/mm] lesbar gemacht und ein [mm] $\vee$ [/mm] gegen [mm] $\wedge$ [/mm] getauscht´.
reflexivität hast du ja schon
symmetrie
[mm] x\equiv [/mm] y [mm] \gdw y\equiv [/mm] x
[mm] x\equiv [/mm] y [mm] \gdw [/mm] f(x)=f(y) [mm] \gdw [/mm] f(y)=f(x) [mm] \gdw y\equiv [/mm] x
transitivität
[mm] x\equiv [/mm] y [mm] \wedge y\equiv [/mm] z [mm] \Rightarrow x\equiv [/mm] z
da gilt
[mm] x\equiv [/mm] y [mm] \gdw [/mm] f(x)=f(y)
und
[mm] y\equiv [/mm] z [mm] \gdw [/mm] f(y)=f(z)
also auch f(x)=f(y)=f(z)
also f(x)=f(z) [mm] \gdw x\equiv [/mm] z
[natürlich muss noch so zeug rein wo x,y,z jeweils herkommen usw.]
zu b
die aussage sollte klar sein
da alle elemente die in einer Äquivalentklasse sind auf das selbe bild abgebildet werden, ist das urbild hiervon die Äquivalenzklasse
bsp(mathematisch unsauber)
1,2,3,4,5 sind eine Äquivalenzklasse
dann gilt f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5) und das Urbild von f(1) ist
die Menge {1,2,3,4,5}
man könnte zeigen dass sich Urbilder von unterschiedlichen x [mm] \in [/mm] N nicht schneiden, dies gilt ,da wenn sie sich schneiden würde würden alle elemente aus dem schnitt 2 bilder haben. Dann wäre f keine abbildung
Allgemein: Urbilder betrachtbar wegen surjektivität
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