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Guten Abend
Als ich einen Beweis gelesen habe, stutzte ich an folgender Stelle. Es geht um einen Beweis in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wenn wir eine Verteilungsfunktion gegeben haben, also insbesondere eine monotone rechtseitigstetige Funktion, dann definieren wir
[mm] $$X(\omega):=\sup\{y\in \IR | F(y)< \omega\}$$
[/mm]
Zwei Fragen habe ich: Wenn wir haben, dass $y< [mm] X(\omega)$, [/mm] dann bedeutet dies ja, dass $ F(y) < [mm] \omega$, [/mm] per Definition von $X$, richtig?
Wenn ich jetzt aber [mm] $y>X(\omega$ [/mm] habe, kann ich dann schliessen, dass $F(y) > [mm] \omega$ [/mm] ist?
Im Beweis wird nämlich extra noch eine zusätliche Menge konstruiert, mit der man dies schliesst. Allerdings sehe ich den Grund dafür nicht. Ich dacht, dass man dies ebenfalls aus der Definition von $X$ schliessen könnte.
Danke für eure Hilfe
Liebe Grüsse
marianne
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> Guten Abend
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> Als ich einen Beweis gelesen habe, stutzte ich an folgender
> Stelle. Es geht um einen Beweis in der
> Wahrscheinlichkeitstheorie. Wenn wir eine
> Verteilungsfunktion gegeben haben, also insbesondere eine
> monotone rechtseitigstetige Funktion, dann definieren wir
>
> [mm]X(\omega):=\sup\{y\in \IR | F(y)< \omega\}[/mm]
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> Zwei Fragen habe ich: Wenn wir haben, dass [mm]y< X(\omega)[/mm],
> dann bedeutet dies ja, dass [mm]F(y) < \omega[/mm], per Definition
> von [mm]X[/mm], richtig?
ja, folgt aus der Monotonie von F
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> Wenn ich jetzt aber [mm]y>X(\omega[/mm] habe, kann ich dann
> schliessen, dass [mm]F(y) > \omega[/mm] ist?
> Im Beweis wird nämlich extra noch eine zusätliche Menge
> konstruiert, mit der man dies schliesst. Allerdings sehe
> ich den Grund dafür nicht. Ich dacht, dass man dies
> ebenfalls aus der Definition von [mm]X[/mm] schliessen könnte.
Wenn F auf einem Teilintervall [a,b) konstant ist, d.h. [mm] F(y)=\omega [/mm] für [mm] y\in[a,b) [/mm] und [mm] F(y)<\omega [/mm] für y<a, dann ist [mm] X(\omega)=a. [/mm] In diesem Fall gilt für a<y<b
[mm] y>X(\omega), [/mm] aber nicht [mm] F(y)>\omega
[/mm]
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> Danke für eure Hilfe
>
> Liebe Grüsse
>
> marianne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Di 17.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Abend
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> Als ich einen Beweis gelesen habe, stutzte ich an folgender
> Stelle. Es geht um einen Beweis in der
> Wahrscheinlichkeitstheorie. Wenn wir eine
> Verteilungsfunktion gegeben haben, also insbesondere eine
> monotone rechtseitigstetige Funktion, dann definieren wir
>
> [mm]X(\omega):=\sup\{y\in \IR | F(y)< \omega\}[/mm]
>
> Zwei Fragen habe ich: Wenn wir haben, dass [mm]y< X(\omega)[/mm],
> dann bedeutet dies ja, dass [mm]F(y) < \omega[/mm], per Definition
> von [mm]X[/mm], richtig?
>
> Wenn ich jetzt aber [mm]y>X(\omega)[/mm] habe, kann ich dann
> schliessen, dass [mm]F(y) > \omega[/mm] ist?
kurz: Nein. Man kann aber für $y > [mm] X(\omega)=\sup\{r \in \IR: F(r) < \omega\}$ [/mm] sagen, dass für jedes $0< [mm] \epsilon [/mm] < [mm] y-X(\omega)$ [/mm] sicherlich
$$F(y [mm] \pm \epsilon) \ge \omega\,.$$
[/mm]
Dass Gleichheit gilt, kannst Du nicht einfach ausschließen - insbesondere auch nicht bei [mm] $\epsilon \to 0\,.$ [/mm] Und selbst wenn für jedes [mm] $\epsilon$ [/mm] wie oben Ungleichheit gelten würde, könnte bei [mm] $\epsilon \to [/mm] 0$ immer noch [mm] $F(y)=\omega$ [/mm] folgen.
Was aber sicher klar ist, ist, dass nicht $F(y) < [mm] \omega$ [/mm] gelten kann - andernfalls wäre [mm] $X(\omega)$ [/mm] ja keine obere Schranke für [mm] $M:=\{r \in \IR: F(r) < \omega\}$ [/mm] gewesen: es wäre ja $y [mm] \in [/mm] M$ und $y > [mm] X(\omega)\,.$ [/mm] Aber die Erkenntniss $F(y) [mm] \ge \omega$ [/mm] besagt nicht automatisch, dass $F(y) > [mm] \omega\,.$
[/mm]
Beachte: Es gilt $a < b [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \le b\,,$ [/mm] aber NICHT $a [mm] \le [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] a < [mm] b\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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